Примеры решения типовых задач
Найдите область определения функции:
а)
б)
.
Решение:
а) Область определения
функции
удовлетворяет условию
,
поэтому
.
Отсюда, решая методом интервалов, имеем:
Ответ: D(у) = [0 ; 3] [4 ; +).
б) Область определения
функции
отвечает условию:
,
поэтому
;
;
.
Ответ: D(у) =[-2;-4/3].
2. Найдите область изменения функции f(x)=ln (x-3)(2-x).
Решение:
D(f(x))=(2;3), так как только при этих значениях аргумента существует ln (x-3)(2-x).
Таким образом, для
нахождения области значений функции
f(x)
нужно знать область значений функции
при
2<x<3.
При указанных значениях аргумента
функция
достигает
наибольшего значения при
.
Отсюда, очевидно,
что
.
Найдем
.
Значит,
.
Следовательно,
.
Ответ:
.
3. Исследуйте функции на четность:
а)
;
б)
.
Решение:
а) D(f)=R - область определения функции симметрична относительно начала координат и так как
,
то данная функция является нечетной.
б)
.
Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно данная функция не является ни четной, ни нечетной.
Определите нули и промежутки знакопостоянства функции:
.
Решение:
.
Найдем нули функции, т.е. точки, в которых значение функции равно 0:
Отсюда x=1 или x=3.
Нули функции разбивают область определения функции на промежутки знакопостоянства. С помощью метода интервалов определяем знак функции на каждом промежутке:
Ответ:
функция
положительна при
отрицательна при
нули функции х=1
и х=3.
Выделите промежутки, на которых существуют обратные функции для функции и найдите их.
Решение:
По свойствам
квадратичной функции данная функция
убывает на промежутке
и
возрастает на
.
Поэтому на каждом из этих промежутков
существует обратная функция для функции.
.
Найдем их:
,
отсюда
.
Тогда при
получаем
,
или
.
Уступая традиции,
переобозначим переменные и получим
функцию
,
которая является обратной для данной
функции при
.
Аналогично, функция
обратная для данной функции при
.
Практические задания
для развития и контроля владения компетенциями
Задания, решаемые в аудитории
1. Найдите область определения функции:
а)
;
б)
.
2. Найдите область изменения функции
а)
;
б)
;
в)
.
3. Исследуйте функции на четность:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4. Определите нули и промежутки знакопостоянства функции:
а)
;
б)
;
в)
.
5. Выделите промежутки, на которых существуют обратные функции для функции и найдите их
а)
;
б)
.
Задания для самостоятельной работы дома
Найдите области определения функций:
а)
;
б)
в)
.
2. Найдите области значения функций:
а)
;
б)
.
3. Исследуйте данные функции на четность:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Определите промежутки знакопостоянства функций:
а)
;
б)
.
5. Найдите функции обратные функциям:
а)
;
б)
.
Лабораторное занятие №2
Тема занятия «Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы»
Цель занятия: Введение понятия предел функции, формирование навыков вычисления пределов.
Организационная форма занятия: практикум-тренинг.
Компетенции, формируемые на занятии:
способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).
Формирование у будущих специалистов этой компетенции на занятии предполагает обучение студентов
- анализировать ситуации и делать выводы;
- владеть основными методиками решения учебно-исследовательских задач;
- вести поиск альтернативных средств и способов решения;
- абстрагировать содержание и выделять существенное;
- планировать самостоятельную работу.