Решение:

Доля работников выполняющих и перевыполняющих норму по выработке в выборочной совокупности составляет:

, или 80,0%.

С вероятностью 0,997 (t = 3) предельная ошибка выборочной доли равна:

, или 3,4 %,

где - коэффициент доверия;

- дисперсия альтернативного признака;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

Тогда границы для генеральной доли работников, выполняющих и перевыполняющих план по выработке, равны:

;

;

(%).

Ответ: С вероятностью 0,997 можно утверждать, что по всем работникам предприятия доля работников, выполняющих и перевыполняющих план по выработке, будет равна от 76,6% до 83,4%.

Задача 2.

Из партии готовых изделий в 1000 ящиков для определения среднего срока службы изделий необходимо провести серийную выборку методом механического отбора. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 12.

Определить необходимую численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 1 месяц.

Решение:

Численность серийной выборки определяется по следующей формуле:

,

где - коэффициент доверия, зависит от вероятности;

- дисперсия серийной выборки;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

Тогда, с вероятностью 0,997 (t = 3), чтобы ошибка выборки не превышала 1 месяц, необходимо отобрать:

(ящиков).

Ответ: Чтобы ошибка выборки не превышала 1 месяц с вероятностью 0,997 необходимо отобрать для обследования 97 ящиков готовых изделий.

Задача 3.

Для определения среднего стажа работы рабочих предприятия произведена 20%-я типическая пропорциональная выборка (внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). В результате обследования получены следующие данные:

Группы	Группы рабочих по стажу, лет
рабочих	до 5	5 - 10	10 - 15	15 - 20	20 и выше
Мужчины	15	30	50	20	10
Женщины	10	15	30	10	10

Определить: с вероятностью 0,997 предельную ошибку выработки и границы, в которых будет находиться стаж работы всех рабочих предприятия; с вероятностью 0,954 пределы удельного веса рабочих со стажем до 10 лет; объем выборки при условии, что предельная ошибка доли рабочих со стажем работы менее 10 лет с вероятностью 0,997 не превышала бы 5%.

Решение:

1) Отличительной особенностью расчета ошибок выборки при типическом отборе является, то что во всех формулах учитывается средняя из групповых дисперсий, т.е. . Например, средняя из групповых дисперсий представляет собой среднюю арифметическую взвешенную из внутригрупповых дисперсий умноженную на численность i-ой группы, т.е. , а внутригрупповая дисперсия в каждой группе рассчитывается по формуле: (для несгруппированных данных), или (для сгруппированных данных).

где - значения признаков в каждой i-ой группе;

- средняя величина в i-ой группе;

– численность каждой i-ой группы.

Средняя ( ) определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где - стаж;

- средний стаж для каждой категории работников;

- численность мужчин, женщин и всех работников соответственно.

Определим средний стаж работы и дисперсию для мужчин, женщин и всех работников предприятия по следующим формулам:

Таблица 2. Распределение мужчин по стажу работы на предприятии

Стаж, лет	Мужчины	Середина интервала, х	x*
До 5	15	2,5	37,5	-9,2	84,64	1269,6
5- 10	30	7,5	225	-4,2	17,64	529,2
10-15	50	12,5	625	0,8	0,64	32
15-20	20	17,5	350	5,8	33,64	672,8
20 и выше	10	22,5	225	10,8	116,64	1166,4
Итого:	125	-	1462,5	-	-	3670

Тогда, средний стаж работы у мужчин составляет:

(лет)

Внутригрупповая дисперсия для распределения мужчин по стажу:

.

Таблица 3. Распределение женщин по стажу работы на предприятии

Стаж, лет	Женщины	Середина интервала, х	x*
До 5	10	2,5	25	-9,7	94,09	940,9
5- 10	15	7,5	112,5	-4,7	22,09	331,35
10-15	30	12,5	375	0,3	0,09	2,7
15-20	10	17,5	175	5,3	28,09	280,9
20 и выше	10	22,5	225	10,3	106,09	1060,9
Итого:	75	-	912,5	-	-	2616,75

Тогда, средний стаж работы для женщин составляет:

(лет)

Внутригрупповая дисперсия для распределения женщин по стажу:

.

Средний стаж работы всех работников предприятия рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

(лет)

Средняя арифметическая взвешенная из внутригрупповых дисперсий равна: .

2) С вероятностью 0,997 (t = 3) и при 20 %-ой пропорциональной типической бесповторной выборке, т.е. , предельная ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

,

где - коэффициент доверия;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

(лет).

Тогда, границы среднего стажа работы на предприятии по всем работникам с вероятность 0,997 составят:

;

(лет).

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж по всем работникам предприятия составит от 10,811 до 12,939 лет.

3) Доля мужчин со стажем до 10 лет равна:

, или 36%.

Дисперсия распределения мужчин со стажем работы на предприятии менее 10 лет.

.

Доля женщин со стажем до 10 лет равна:

, или 33%.

Дисперсия распределения женщин со стажем работы на предприятии менее 10 лет.

.

Доля работников, работающих на предприятии менее 10 лет:

, или 35%.

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

,

где - доля признака в каждой i-ой группе;

– численность каждой i-ой группы.

Тогда, средняя из внутригрупповых дисперсий равна:

4) С вероятностью 0,954 (t = 2) предельная ошибка удельного веса рабочих со стажем до 10 лет равна:

, или 6,0%,

где - коэффициент доверия;

- средняя из внутригрупповых дисперсий;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

Тогда границы для доли всех работников предприятия, отработавших менее 10 лет составят:

;

;

(%).

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что по всем работникам предприятия доля работников со стажем до 10 дет будет от 29% до 41%.

5) Объем выборки при условии, что предельная ошибка доли рабочих со стажем работы менее 10 лет с вероятностью 0,997 (t = 3) не превышала бы 5%:

,

где - коэффициент доверия, зависит от вероятности;

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

Т.к. выборка пропорциональная, то , тогда (работников)

(чел.).

Чтобы ошибка выборки не превышала 5% с вероятностью 0,997 необходимо отобрать для обследования среднего стажа работников 450 человек (в т. ч. 281 мужчину и 169 женщин).