2. Симплексный метод.

Среди универсальных методов решения ЗЛП наиболее распространен симплексный метод ( или симплекс–метод) , т.к. позволяет решить практически любую ЗЛП в канонической форме. Этот метод был разработан американским ученым Дж. Данцигом.

Идея симплекс–метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного плана решения путем последовательного улучшения исходного, за определенное число этапов (итераций), приходим к оптимальному. Симплекс–метод основан на следующих свойствах ЗЛП:

1. Если экстремум существует, то он единственный;

2. Множество всех планов ЗЛП выпукло;

3. Целевая функция ЗЛП достигает своего максимального (минимального) значения в угловой точке многогранника решений (в его вершине). Если целевая функция принимает свое оптимальное значение более, чем в одной точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

4. Каждой угловой точке многогранника решений отвечает опорный план ЗЛП.

Алгоритм решения ЗЛП симплексным методом.

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение (план) и проверяем его на оптимальность, для этого составляем симплекс–таблицу.

Б					…
					…
			1	0	…	0
			0	1	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…
			0	0	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…
			0	0	…	1
			0	0	…	0

В столбцах записываются:

Б – базисные вектора;

– коэффициенты целевой функции при базисных переменных;

– коэффициенты целевой функции;

Строка – называется индексной строкой, ее значения находятся по формуле:

По оценкам векторов проверяем оптимальность плана. Возможны следующие случаи:

а) если все оценки , то на основании признака оптимальности исходный опорный план является оптимальным.

Критерий оптимальности. Опорный план задачи является оптимальным, если оценки неотрицательны (для задачи на максимум);

б) если хотя бы одна оценка и все соответствующие этому индексу величины не положительны, то целевая функция не ограничена на множестве планов, решение задачи прекращаем, т.е. ЗЛП не имеет решений;

в) если хотя бы одна оценка отрицательна, а при соответствующей переменной есть хотя бы один положительный коэффициент, то нужно перейти к другому опорному решению;

г) если отрицательных оценок несколько, то в столбец базисной переменной вводят ту переменную, которой соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка.

Столбец которому соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка называется ключевым столбцом. За ключевую строку принимают ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам ключевого столбца.

Элемент, находящийся на пересечении ключевых строки и столбца, называется ключевым элементом.

3. Заполняем симплекс–таблицу 2–го шага:

а) переписываем ключевую строку, разделив ее на ключевой элемент;

б) заполняем базисные столбцы;

в) остальные коэффициенты пересчитываем по правилу «прямоугольника». Правило «прямоугольника» заключается в следующем:

Оценки можно пересчитывать, как в первой таблице или правилу «прямоугольника».

4. Проверяем новый опорный план на оптимальность. Если план не оптимальный и необходимо перейти к новому, то возвращаемся к пункту 3. Если план оптимальный или установлено, что неразрешима, то процесс решения задачи заканчиваем.

Замечание. Если целевая функция требует нахождения минимального значения, то критерием оптимальности задачи является не положительность оценок.