2 Параметры систем массового обслуживания
Прежде чем приступать к изучению методов решения конкретных задач массового обслуживания, полезно ознакомиться с параметрами и показателями эффективности, которые характеризуют СМО. Как для любой системы, функционирование СМО можно представить в виде множества взаимодействующих между собой параметров внешней среды и системы (раздел 1.2).
СМО можно описать, задавая следующие ее компоненты [31]:
- входной поток;
- очередь, с дисциплиной ожидания;
- механизм обслуживания, с дисциплинами обслуживания;
- конфигурацию системы.
Входной поток или рабочая нагрузка с общих позиций однородного потока, был рассмотрен в разделе 3.2.
В сложных системах, работающих в реальном масштабе времени, поток заявок зачастую отличается крайней неоднородностью. При моделировании неоднородный поток может быть представлен совокупностью однородных потоков. В каждый из однородных потоков объединяются заявки с идентичным приоритетом и параметрами.
Напомним, что говоря о том, что входной поток задан или описан, будем подразумевать, что полностью известна функция распределения промежутков времени между последовательными заявками. Здесь основное внимание будет уделено экспоненциальному распределению.
Очередь и ее параметры. С целью уменьшения простоя программных и аппаратных ресурсов ВС современные организации вычислительного процесса предусматривают возможность создания к ним очередей. Очереди в ВС возникают различными путями и на различном уровне: очередь заданий к центральному процессору и к каналу ввода-вывода; при мультипрограммном режиме обработки к ОП и т.д.
Очередь характеризуется числом мест в очереди m и дисциплиной ожидания D, (рис. 4.2). Как было сказано выше, дисциплина ожидания определяет правила управления очередью, а также ограничения на длину очереди, времени ожидания и т. д. Возможны следующие бесприоритетные дисциплины ожидания:
- заявка принимается в общую очередь в порядке поступления, при переполнении очереди заявка получает отказ, т.е. покидает систему;
- заявка принимается в общую очередь в порядке поступления, при переполнении очереди вновь прибывшая заявка выталкивает из очереди заявку, дольше всех находящуюся в очереди и др.
Рассмотрим некоторые из возможных приоритетных дисциплин ожидания:
- заявка принимается в общую очередь в порядке поступления, при переполнении очереди учитываются приоритеты заявок: вновь поступившая может вытолкнуть из очереди только заявку низшего или данного приоритета, причем внутри приоритета теряется самая старая заявка; если очередь заполнена более приоритетными заявками, то вновь поступившая заявка получает отказ и др.
Механизмы обслуживания. Следующей компонентой СМО является обслуживающий прибор с количественной характеристикой обслуживания, требуемого отдельной заявкой.
В общем случае
это случайная величина, закон распределения
которой считается известным. Типы заявок
различаются либо законами распределения,
либо только средними значениями
при одинаковых законах распределения.
При этом принимается предположение о
независимости длительностей обслуживания
для различных заявок одного типа, которое
вполне справедливо для большинства
реальных систем.
Выше, дисциплина обслуживания была определена как правила выбора заявки из очереди при назначении на обслуживание. Возможны следующие бесприоритетные дисциплины обслуживания:
- выбирается первая в очереди заявка дисциплина "первым пришел - первым обслуживаешься" (FIFO - First Input First Output);
- выбирается последняя в очереди заявка дисциплина "последним пришел - первым обслуживаешься" (LIFO - Last Input First Output);
- заявка выбирается из очереди случайным образом.
В приоритетных дисциплинах обслуживания приоритетным заявкам предоставляется преимущественное право на обслуживание.
Конфигурация СМО. Каждая СМО обладает определенной структурой, характеризующейся совокупностью параметров. Это прежде всего число каналов обслуживания n. В свою очередь многоканальные СМО могут содержать одинаковые и различные по производительности каналы обслуживания.
Важная компонента
структуры СМО
очередь, параметром которой является
число мест m. В приоритетных системах
общая очередь может быть разделена на
несколько очередей по числу различаемых
системой приоритетов, для каждой из
которых должно быть указано число мест
.
Эффективность СМО можно охарактеризовать большим числом различных показателей. Рассмотренные ранее в (2.3) технические и экономические показатели, могут быть без изменения их сути интерпретироваться для СМО. В данном разделе остановимся на эксплутационных показателях эффективности. Эти показатели отражают возможности СМО по обслуживанию заявок, не характеризуя качество самого обслуживания.
Вероятность
обслуживания
это вероятность того, что произвольно
выбранная из входящего потока с
интенсивностью
заявка будет обслужена, т.е. окажется в
потоке обслуженных заявок с интенсивностью
.
Фактически характеризует среднюю долю поступивших заявок, обслуживаемых системой, поэтому называют иногда относительной пропускной способностью.
Одной из важнейших характеристик СМО является ее абсолютная пропускная способность или интенсивность обслуживания ( ). среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени:
.
(4.1)
Вероятность
отказа
это вероятность того, что произвольно
выбранная из входящего потока с
интенсивностью
окажется в потоке отказанных заявок с
интенсивностью
.
.
(4.2)
Среднее
время ожидания
оценка математического ожидания времени
ожидания
заявки в очереди.
случайная величина, равная интервалу
времени, в течении которого заявка
находится в очереди.
Среднее
время пребывания заявки в системе
оценка математического ожидания времени
пребывания заявки в СМО.
случайная величина, равная промежутку
времени от момента поступления заявки
на вход СМО до момента времени появления
ее в выходящем потоке:
.
(4.3)
Средняя
длина очереди
представляет собой оценку математического
ожидания числа заявок, находящихся в
очереди.
Среднее
число занятых каналов
равно оценке математического ожидания
числа занятых обслуживанием каналов,
являющегося случайной величиной; оно
характеризует степень загрузки системы.
Среднее
число заявок в системе
представляет собой математическое
ожидание числа заявок, находящихся в
очереди или в каналах обслуживания; оно
равно сумме длины очереди и среднего
числа занятых каналов (с каждым каналом
в произвольный момент времени может
быть связана только одна заявка):
.
В теории массового обслуживания существует ряд соотношений, справедливых при весьма общих предположениях об основных составляющих элементах СМО, особенно при прикидочных расчетах. Рассмотрим одно из известных соотношений подобного рода формулу Литтла, которая связывает (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок , находящихся в системе массового обслуживания (т.е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе . [13].
Рассмотрим любую СМО (одно-, многоканальную, марковскую, немарков-скую, с ограниченной или неограниченной очередью) и связанные с ней два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО и поток заявок, поки-дающих СМО. Если в системе установился предельный стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность .