4) Указывается начальное состояние системы;
5) для каждой дуги графа указывается интенсивность перехода;
6) составляется система уравнений Колмогорова, связывающая состояния системы с интенсивностями переходов между состояниями по следующему правилу: производная вероятности i-го состояния равна сумме произведений вероятностей состояний на интенсивности переходов системы в это состояние.
При этом, произведение входит в уравнение со знаком "+", если дуга графа входит в рассматриваемое состояние, и со знаком "-", если дуга графа выходит из этого состояния.
Например, для состояния S1 графа на рисунке 4.1, уравнение имеет вид;
7) решается полученная система дифференциальных уравнений;
8) Находятся показатели качества вс на основе найденных вероятностей состояния системы.
Примечание: в случае стационарности системы, когда сумма вероятностей состояний равна единице, решается система линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим несколько примеров применения методики марковских цепей для решения задач расчета характеристик вычислительных систем.
Основные задачи теории КС, решаемые на основе марковских цепей
Задача 1. Расчет надежности вычислительных систем с частичным контролем при отсутствии профилакти-ческих испытаний.
Постановка задачи. Задана ВС, для которой можно выделить три состояния:
s1 - система работоспособна;
s2 - в системе обнаружен отказ;
s3 - в системе отказ не обнаружен.
Известны также следующие величины:
0 - интенсивность отказов;
В - интенсивность восстановления;
g - доля контролируемого оборудования;
Требуется найти коэффициент готовности KГ вычислительной системы. Марковская цепь для данной задачи представлен на рисунке 4.2.
Рисунок 4.2 — Граф марковской цепи к задаче 1
Составим систему уравнений Колмогорова для цепи:
Решив систему, получаем:
Полученное выражение для p1 определяет коэффициент готовности для ВС с частичным контролем при отсутствии периодических профилактических испытаний, т.е. KГ = p1.
Задача 2. Расчет надежности вычислительных систем с частичным контролем оборудования и периодическими профилактическими испытаниями.
Постановка задачи. Задана вычислительная система, у которой можно выделить пять состояний:
S1 - система работоспособна;
S2 - в системе обнаружен отказ;
S3 - состояние необнаруженного отказа;
S4 - состояние выполнения профилактических испытаний;
S5 - в системе установлен скрытый отказ в результате профилактических испытаний.
Известны также следующие величины:
0- интенсивность потока отказов;
TПФ - период проведения профилактических испытаний;
ПФ = 1/ТПФ — интенсивность проведения профилактик;
ПФ - интенсивность выполнения профилактических работ;
В - интенсивность восстановления отказа;
g - доля контролируемого оборудования.
Требуется найти вероятность безотказной работы системы.
На рисунке 4.3 приведен граф эргодической марковской цепи рассматриваемой задачи.
Для установившегося режима система уравнений Колмогорова имеет следующий вид:
Решение системы уравнений дает следующие значения:
Значение p1 может быть найдено из условия нормировки:
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1.
Коэффициент готовности системы равен:
Задача 3. Расчет надежности вычислительной системы. Задан неремонтируемый двухпроцессорный вычислительный комплекс, работающий в режиме нагруженного резерва. Комплекс сохраняет работоспособность если исправен хотя бы один из процессоров. Иначе наступает отказ.
Известны:
1 - интенсивность отказов первого процессора;
2 - интенсивность отказов второго процессора.
В задаче требуется найти p(t) - вероятность безотказной работы данной системы.
Обозначим:
S1 - состояние системы, при котором оба процессора исправны;
S2 - состояние системы, при котором исправен только первый процессор;
S3 - состояние системы, при котором исправен только второй процессор;
S4 - состояние системы, при котором оба процессора неисправны;
p1, p2, p3, p4 - вероятности пребывания системы в этих состояниях.
С учетом введенных обозначений данная система будет представлена в виде марковской цепи, изображенной на рисунке 4.4.
Рисунок 4.4 — Граф марковской цепи задачи расчета надежности
Запишем систему уравнений Колмогорова для этой цепи:
Приняв 1(t) = 2(t) = (t) и в выбрав закон распределения для вида (t) = е- t, получим
Тогда вероятность безотказной работы системы будет равна:
p(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t).
Задача 4. Определение абсолютной пропускной способ-ности канала связи.
Постановка задачи. Задан канал связи (КС), структурная схема которого показана на рисунке 4.5. Для этого канала можно выделить два состояния:
S1 - канал свободен; S2 - канал занят.
Известны также следующие параметры:
T- периодичность обращения к КС;
= f(t) — длительность передаваемого сообщения;
= 1/T — интенсивность обращения к КС;
= 1/ — интенсивность обработки сообщений.
В задаче требуется определить вероятность того, что канал свободен.
Примем допущение об экспоненциальности закона распределения интенсивности,
т.е. (t) = е- t; (t) = e- t.
Рисунок 4.5 — К задаче определения пропускной способности канала
Марковская цепь рассматриваемой задачи представлена на рисунке 4.6.
Рисунок 4.6 — Марковская модель к задаче 4
Система уравнений Колмогорова для данной задачи имеет вид:
С учетом вектора начальных условий, т.е. p1(t) + p2(t) = 1, решение имеет
Задача 5. Определение вероятности столкновения запросов при обращении нескольких процессоров к общей шине.
Постановка задачи. Имеется вычислительная система, в состав которой входит несколько процессоров и ряд модулей ОЗУ. Обмен между всеми устройствами системы организован через общую шину (ОШ), как показано на рисунке 7.7. В каждый момент времени через ОШ может вести обмен только один процессор.
Рисунок 4.7 — Структура вычислительного комплекса
В рассматриваемой системе можно выделить такие состояния:
S1 - шина свободна;
S2 - шина занята первым процессором;
S3 - шина занята вторым процессором;
S4 - шина занята процессором 1 и есть запрос от процессора 2;
S5 - шина занята процессором 2 и есть запрос от процессора 1.
Кроме того заданы интенсивности переходов:
1 = 1/T1 — интенсивность обращения к ОШ первого процессора;
2 = 1/T2 — интенсивность обращения к ОШ второго процессора;
1 = 1/ 1 — интенсивность обслуживания запросов первого процессора;
2 = 1/ 2 — интенсивность обслуживания запросов второго процессора;
где T1, T2 — период обращения к ОШ первого и второго процессоров соответственно
1, 2 — длительность обслуживания запросов от первого и второго процессоров соответственно.
Рисунок 4.8 — Марковская модель процесса обращения к ОШ
Система уравнений Колмогорова для данной задачи имеет вид:
В задаче требуется найти вероятность столкновения запросов PСТ от первого и второго процессоров при обращении к ОШ.
Марковская цепь рассматриваемой задачи приведена на рисунке 7.8.
Решив систему, значение вероятности столкновения при обращении к общей шине со стороны двух процессоров определяется:
pСТ =p4 + p5.
Задача 6. Аналитическая модель Шерра.
Постановка задачи. Задано: n - количество заданий, которое может обрабатываться системой;
П - среднее время подготовки задания на терминале;
tОБ- среднее время обработки задания процессором.
Найти: среднюю длину очереди LСР заявок, ожидающих обслуживания, и среднее время пребывания заданий в системе U.
Пусть n = 2, тогда число состояний системы S будет n+1, а именно: S0 - в системе нет заданий, S1 - в системе находится одно задание, S2 - в системе обслуживается два задания.
Рисунок 4.9 - Граф состояний модели Шерра
Определим интенсивности переходов из состояния в состояние. Пусть j- количество заданий, находящихся в процессоре, и пусть ресурсы процессора распределяются поровну между всеми активными заданиями. Тогда интенсивность перехода системы из состояния с j запросами в состояние с j + 1 запросами в системной фазе будет определяться:
С другой стороны, осуществляются переходы системы из состояния с j пользователями в состояниями с j - 1 пользователями. Интенсивность таких переходов вычисляется по формуле:
Данная система будет представлена в виде марковской цепи изображенной на рисунке 4.9.
Будем считать, что для установившегося режима:
Запишем систему уравнений Колмогорова рассматриваемой системы:
Обозначив r = tОБ/ П, получим вероятность незанятости процессора в стационарном режиме
а вероятность того, что в системе находится ровно i заявок
Среднее количество запросов, ожидающих обслуживания:
а среднее время пребывания заданий в системе:
