3.6.2 Подбор функции (закона) распределения случайной величины
Для изучения закона распределения случайной величины Х (экспериментальные данные) полезно построить гистограмму относительных частот. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:
интервалы х, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;
число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:
Число измерений (n)
Рекомендуемое число интервалов (k)
40-100
7-9
100-200
15-18
200
18-20
400
25-30
1000
35-40
масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8.
Вся область изменения экспериментальных данных разбивается на интервалы, оптимальная длина которых
или , |
(46) |
а начальная точка отсчета
. |
(47) |
Заметим, что в большинстве случаев все значения Х должны быть положительны (распределение Вейбулла, логарифмически нормальное распределение и др.), поэтому в таких случаях, если х0<0, принимают х0=0.
На практике эти формулы используют не всегда, так как длина интервала определяется естественно, в зависимости от точности прибора, с помощью которого производится измерение величины Х. Далее находят границы интервалов и подсчитывают количество значений xi, попавших в каждый интервал, которое принимается за частоту ni попадания величины Х в заданный интервал. Если при этом граница интервала совпадает с одним из значений xi, то к частотам для каждого интервала подсчитывают относительную -частоту
. (48)
Г
Рис. 3.6.2.1 Гистограмма относительных
частот
С оединив отрезками прямых середины верхних сторон прямо -угольников, получим ломаную линию, называемую полигоном. Если бы была возможность увеличивать число измерений n, то в пределе при n и 0 ( - цена деления шкалы прибора) полигон перешел бы в кривую плотности распределения f(x). Нормальное распределение имеет симметричную кривую плотности вероятности, поэтому и гистограмма должна представлять собой симметричную фигуру.
Если максимум на гистограмме сдвинут к нулю, то следует предполагать логарифмически нормальное распределение или распределение Вейбулла. По виду гистограммы эти законы трудно различить; можно лишь обратить внимание на то, что гистограмма при логарифмически нормальном распределении плотнее примыкает к оси ординат.
В
Рис. 3.6.2.2 Логарифмически нормальное
распределение
Д
Рис. 3.6.2.3 Распределение по закону
Вейбулла
Наиболее часто на практике используется критерий согласия Пирсона (хи-квадрат, ), который можно применять для проверки допущения о любом распределе нии, даже не зная точного значения параметров распределения. Основным недостатком этого критерия является нечувствитель ность к обнаружению подходящей статистической модели при малом числе наблюдений.