► Дифракция рентгеновских лучей на кристалле. Длина вол­ны рентгеновских лучей сравнима с расстоянием между атомами кри­сталлической решетки, которая для падающих лучей представляет собой пространственную дифракционную решетку. Условие дифрак­ционных максимумов состоит в одновременном выполнении трех урав­нений (16) для трех взаимно перпендикулярных кристаллических осей (условия Лауэ):

где α, β, γ — углы с осями, связанные условием

Эти три уравнения нельзя одновременно удовлетворить при произволь­но выбранном направлении падающего луча и заданной длине волны. Это значит, что при облучении кристалла монохроматическими, но рассеянными рентгеновскими лучами (т.е. имеющими всевозможные направления) возникают дифракционные максимумы во вполне опре­деленных направлениях. Анализ получающихся лауэограмм позволяет получать информацию о строении кристалла. Дифракционные мак­симумы отсутствуют, если λ/2 превышает все периоды решетки; для видимого света кристалл можно считать однородной средой.

Отражение рентгеновских лучей от поверхности кристалла можно также рассматривать как интерференцию лучей, отраженных от систе­мы последовательных атомных плоскостей в кристалле. По аналогии с интерференцией в тонких пленках (см. разд. 5.2), разность хода между лучами, отраженными от соседних плоскостей, равна d sinθ, где θ — угол между падающим лучом и атомной плоскостью (не с нор­малью!), а d межплоскостное расстояние. (Отметим, что показатель преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы, (см. разд. 5.5.) Отражение наблюдается только в направлениях дифракци­онных максимумов, удовлетворяющих условию Вульфа — Брегга:

где m =1,2,… – порядок дифракционного максимума.

5.4. Поляризация света. Формулы Френеля

► Поляризованный и естественный свет. Плоская волна назы­вается линейнополяризованной или плоскополяризованной, если коле­бания вектора Е происходят в одной плоскости, перпендикулярной фронту волны (ее называют плоскостью поляризации волны). Моно­хроматическая плоская волна либо линейно поляризована, либо по­ляризована по эллипсу или по кругу (см. разд. 4.5). Эллиптически поляризованная волна представляет собой сумму двух взаимно пер­пендикулярных плоских волн, между колебаниями которых имеется разность фаз. Естественный свет, испущенный нагретыми телами, является неполяризованным, поскольку направление колебаний векто­ра Е в каждой точке быстро и хаотически меняется. Смесь естествен­ного и поляризованного света называется частично поляризованным светом.

Поляризатором называется устройство, на выходе из которого свет линейно поляризован в определенной плоскости, называемой плоско­стью пропускания поляризатора. Причина в том, что поляризатор пол­ностью поглощает свет, поляризованный перпендикулярно плоскости пропускания. Если естественный свет пропустить через поляризатор, то он станет линейно поляризованным, а его интенсивность уменьшится в два раза (если нет поглощения в плоскости пропускания поляризато­ра). Если линейно поляризованный свет интенсивностью I₀ пропустить через поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол α с плоскостью колебаний световой волны, то интенсивность прошедшей волны будет составлять

(закон Малюса). Объясняется это тем, что линейно поляризованный свет с амплитудой E₀ представляет собой сумму двух линейно поля­ризованных воли: волна, поляризованная в плоскости пропускания (ее амплитуда равна E₀ cos α), пройдет через поляризатор без изменений, а вторая волна будет поглощена.

► Отражение и преломление волн. Формулы Френеля. Интен­сивность и поляризация отраженной и преломленной волн зависят от того, как поляризована падающая волна. Запишем граничные условия на поверхности раздела двух сред:

Здесь нижние индексы т, п обозначают тангенциальную и нормальную компоненты, а верхние; индексы i, r, d соответствуют падающей, отра­женной и преломленной волнам. Кроме того, необходимо учитывать соотношения между электрическим и магнитным полями в плоской электромагнитной волне (см. раздел 4.5). Для плоской монохромати­ческой волны

соотношения для волновых векторов (рис. 87) имеют вид:

или

где . Полу­чаем закон отражения β = α и закон преломления

Особого внимания заслуживает слу­чай, когда свет падает из оптически более плотной среды ( n₁ > n₂ )под углом α, большим предельного угла α_пр полного отражения (sinα_пр = n₁ / n₂). В этом случае и оказывается мнимым: ,

где . Это означает, что амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает на расстоянии , а амплитуда отражен­ной волны равна амплитуде падающей.

Амплитуды прошедшей и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Приведем результат для отраженных волн:

(формулы Френеля). Здесь первая формула относится к волне, поля­ризованной в плоскости падения (ее удобно выводить из граничных условий для Е), а вторая к волне, поляризованной в перпендику­лярной плоскости (ее удобнее выводить из граничных условий для Н). Видно, что при угле падения, удовлетворяющем условию α + ψ = π / 2, волна, поляризованная в плоскости падения, отражаться не будет. Так как в этом случае , то угол падения, при котором отражен­ная волна будет линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения (угол Брюстера), удовлетворяет соотношению:

.

Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (указаны на рисунке), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается па­раллельным направлению отраженной волны (отраженный и прелом­ленный лучи взаимно перпендикулярны). Но осциллятор не излучает волну в направлении своих колебаний (см. разд. 4.5).

В случае нормального падения различие между поляризациями пропадает:

Видно, что при отражении от оптически более плотной среды( ) фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее, к фазе; добав­ляется 7т). Впрочем, это свойство видно и непосредственно из формул Френеля: при а > ф происходит изменение знака колебаний.

Отношение потока отраженной энергии к потоку энергии падающей называется коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен

(17)

Коэффициент пропускания равен D = 1 — R (закон сохранения энер­гии).

О тметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемных плотностей энергии отраженной и падающей волн: , то при расчете коэффициента про­пускания надо учесть как различие в скоростях волн в разных средах, так и (для падения под ут­лом) изменение поперечной площади за счет пре­ломления: (рис. 88). В итоге

(Поток энергии равен произведению объемной плотности энергии на скорость волны и на площадь поперечного сечения.)

Коэффициенты R и D зависят только от относительного показа­теля преломления двух сред. Коэффициент отражения обычно невелик; например, при получим R = 0,04.

Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в оптических приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на поверхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления (п — показатель преломления стекла) и толщиной . Оптиче­ская разность хода между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна λ /2 (изменение фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к другу (см. формулу (17)). В результате произойдет почти полное гашение отраженного света.

► Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих анизотропией, векторы и в общем случае уже не параллельны друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер, т.е. каждая из компонент вектора выражается в виде линейной ком­бинации всех трех компонент вектора . Существуют три взаимно пер­пендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями кристалла, для которых . Значения , называ­ются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из трех равны друг другу ( ). Выделенная ось ( ) называется оптической осью кристалла.

П ри распространении в одноосном кристалле плоской волны вво­дят главное сечение кристалла — плоскость, проходящую через опти­ческую ось и вектор нормали к фронту волны. Оказывается, что распространение линейно поляризованной световой волны зависит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпендикуляр­но главному сечению, называется обыкновенной. Скорость распростра­нения такой волны не зависит от направления; колебания векторов и направлены одинаково; направление распространения энергии (т.е. вектора Пойнтинга ) перпендикулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному сечению, назы­вается необыкновенной. Скорость ее распространения зависит от угла между и оптической осью (при угле π / 2 между ними она равна ). Колебания векторов Е и D происходят в разных направ­лениях, вектор Пойнтинга не перпендикулярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна ). Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает только при распро­странении света параллельно оптической оси.

При падении света на поверхность кристалла он разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные пер­пендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломления (явление двулучепреломления). Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление распространения фронта необыкновенной волны, сам же луч может выйти из плоскости падения. Даже при нормальном падении луча на кристалл, вырезанный под углом к опти­ческой оси, происходит пространственное разделение лучей (рис. 89). Положения фронтов указаны черточками, положе­ние оптической оси — стрелкой. Необык­новенный луч поляризован в плоскости чертежа, обыкновенный — перпендику­лярно ей.

Для получения и анализа поляризо­ванного света используют поляризованные призмы (николи), разрезанные под углом к распространению лучей таким образом, что обыкновенный луч испытывает на плоскости разреза полное отражение и уходит в сторону, а необыкновенный луч прохо­дит прямо. Другой способ получения поляризованного света основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновенною лучей в некоторых веществах. При пропускании света через дихроичиую пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновенный луч погло­щается, и наружу выходит линейно поляризованный необыкновенный луч.

Для анализа, характера поляризации света изучают зависимость ин­тенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меняется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Чтобы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны, или компенса­тор. Толщина пластинки d подобрана так, чтобы разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами равнялась λ / 4. Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными колебаниями станет равным либо нулю, либо π, и круговая поляризация превратится в ли­нейную.

► Вращение плоскости поляризации. При распространении в некоторых веществах (их называют оптически активными) линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: , где α - вращение на единицу длины. В зависимости от направления поворота различают право- и левовращающие вещества. Пример - пластинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически активного вещества в неактивном растворителе α пропорционально концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией по отношению к правому и левому вращению по чипу спирали. Явление вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кругу в разные стороны, распространяются с разными скоростями, т.е. разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний представляет собой линейное колебание, направление которого зависит от разности фаз.

►Искусственная анизотропия. При помещении многих изотроп­ных тел в однородное электрическое ноле: у них возникает одноосная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно на­пряженности поля (электрооптический эффект Керра). Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами при распространении света перпендикулярно пропорциональна квадрату напряженности:

,

где l — толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра. Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляризуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых веществ в магнитное поле (эффект Коттона — Мутона). Он описыва­ется соотношением .

При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле может возникнуть оптическая активность для света, распространяю­щегося параллельно вектору В (магнитное вращение плоскости поля­ризации). Угол поворота на единицу длины в этом случае (для диа- и парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции: , где называется постоянной Верде.