2. Расчет динамических характеристик четырехполюсника

Анализ динамических характеристик цепи проводится с помощью двух пробных воздействий: единичной ступенчатой функции 1(t) и единичной импульсной функции (t).

Аналитически единичная ступенчатая функция записывается как

(40)

а единичная импульсная функция (t) имеет вид

(41)

причем

Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой h(t), а реакция цепи на воздействие единичной импульсной функции - импульсной переходной функцией h(t). Динамические характеристики цепи (затухание, собственная частота, частота свободных колебаний, постоянные времени, время переходного процесса) определяются по переходной или импульсной функции, рассчитанной для любого тока или напряжения.

Так как для заданной цепи определена уже комплексная передаточная функция по напряжению, то в качестве реакции на пробное воздействие можно выбрать выходное напряжение четырехполюсника U₂(t). Расчет удобно вести операторным методом. Передаточная функция в операторной форме H_U(S) может быть получена из комплексной передаточной функции, если ввести обозначение j=S, т. е.

(42)

где N(S) и M(S) - многочлены числителя и знаменателя. Входное напряжение в виде единичного ступенчатого воздействия в операторной форме записывается так:

Выходное напряжение в операторной форме при нулевых начальных условиях с учетом (42) имеет вид

(43)

где .

Оригинал для , равный , можно определить с помощью теоремы разложения или по таблицам обратного преобразования Лапласа.

Теорема разложения для отыскания оригинала записывается в виде

, (44)

где S_k - корни знаменателя передаточной функции U₂(S), т. е. корни уравнения

. (45)

При отыскании оригинала с помощью таблиц преобразования Лапласа следует также сначала отыскать корни уравнения

, (46)

которое по существу соответствует характеристическому уравнению анализируемой цепи. Корни характеристического уравнения находятся с помощью ЭВМ.

Если, например, три корня получились действительные, уравнение (43) приводится к виду

(47)

где S₁,S₂,S₃ - корни знаменателя.

Если два корня получились комплексные, равные

, (48)

то уравнение (43) приводится к виду

(49)

После этого оригинал u₂(t), соответствующий переходной функции цепи u₂(t)=h(t), находится по таблицам преобразования Лапласа [ ]. Импульсная характеристика h(t) цепи определится как производная от переходной функции h(t).

Реакцию четырехполюсника на воздействие единичного импульса U₁(t), равного

(50)

где - время действия импульса, можно определить с помощью

единичной передаточной функции и записать так:

(51)

2.1. Пример расчета четырехполюсника в установившемся режиме

Определение коэффициентов четырехполюсника. Рассмотрим цепь, приведенную на рис. 5, со следующими параметрами: r =1000 Ом; С = 10^-6 Ф; r_о = 250 Ом; С_о = 210^-6 Ф. Составим матричное уравнение для исходной цепи по методу узловых потенциалов.

Рис. 6

Обозначим узлы, как показано на схеме (рис. 6). Потенциал узла 5 примем равным нулю. Подключим воображаемые источники тока на входе и выходе и , где и - входной и выходной токи четырехполюсника.

Уравнение примет вид

(52)

Разобьем матрицу проводимостей на четыре блочные матрицы: .

(53)

Разобьем матрицы узловых токов и потенциалов на блочные матрицы

(54)

Исключая из уравнения (54) матрицу и учитывая, что , получим уравнение четырехполюсника в форме Y:

(55)

Запишем блочные матрицы проводимостей через параметры схемы, подготовим массивы A, B, C, E, D для программы:

Все вычисления уравнения (55) осуществляются на ЭВМ.

Результаты расчетов представим в виде матрицы коэффициентов четырехполюсника, где

Коэффициенты и равны, так как матрица симметрична относительно главной диагонали. Равенство коэффициентов и в данном примере объясняется симметрией четырехполюсника.

Расчет комплексной передаточной функции и частотных характеристик. Передаточная функция заданного четырехполюсника по напряжению на холостом ходу запишется в виде

.

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики передаточной функции вычислены и построены на ЭВМ (рис. 7).

Расчет характеристических параметров четырехполюсника. Эти параметры вычисляются на заданной частоте, например  =10³ с^-1, по формулам (39). Предварительно вычислим коэффициенты четырехполюсника на частоте  =10³ с^-1:

Определитель матрицы равен

Характеристическое сопротивление

Рис. 7

Мера передачи

Z_н=518,6e ^{j 45,99}, r_н=363 Ом, х_н=363 Ом, L_н=0,363 Г.

Схема согласованного четырехполюсника приведена на рис.. 8.

Рис. 8

Расчет комплексной передаточной функции и частотных характеристик нагруженного четырехполюсника. Нагрузкой четырехполюсника является резистор с сопротивлением r=10³ Ом. По формуле (38) вычисляем :

.

Данные для новой передаточной функции заносятся в программу, а затем вычисляются и строятся графики АЧХ и ФЧХ.

Эти графики следует изображать на одном рисунке.