8. Представлення натурального числа у вигляді дробу.

Будь-яке натуральне число можна одержати в результаті ділення нескінченної кількості пар натуральних чисел. Тобто одне і теж саме число можна записати різними способами у вигляді дробу . Цей символ означає як саму дію ділення, так і результат цієї дії.

Розглянемо теореми які дозволяють порівнювати натуральні числа, записані у вигляді дробу.

Теорема 1. Для того, щоб виконувалось співвідношення

а) , б) , в) (*)

необхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення

а) , б) , в) (**)

Необхідність. Доведення. Нехай виконуються умови (*), доведемо, що виконуються умови (**). Доведемо для випадку а). За законом монотонності множення правильною буде рівність . За асоціативним законом множення для лівої части рівності і за комутативним – для правої . За асоціативним законом множення для правої части рівності , а за означенням дії ділення . Аналогічно доводиться необхідна умова для б) і в).

Достатність. Нехай виконуються умови (**). На основі закону оборотності матимемо виконання умов (*).

Теорема 2. Для будь-яких натуральних чисел справедлива рівність

Доведення. За властивістю частки не змінюватись при зміні діленого і дільника у одне і теж число раз, за властивістю ділення суми і різниці на одне і теж число маємо:

Теорема 3. Для будь-яких натуральних чисел справедлива рівність .

Доведення. Знайдемо добуток частки (ліва частина) і дільника. Це повинно дати .

Теорема 4. Для будь-яких натуральних чисел справедлива рівність .

Доведення. Потрібно розглянути добуток частки (правої частини) на дільник .

„додавання” і „віднімання” називають діями першого ступеня. „Множення” і „ділення” – діями другого ступеня. „Піднесення до степеня”, „добування кореня” – діями третього ступеня. При виконанні дій пріоритет мають дії вищих ступенів. Дії одного ступеня виконуються в порядку слідування. Для іншого порядку дій використовують дужки.

8. Ознаки подільності.

Теорема 1. Якщо кожен із доданків ділиться на яке-небудь число, то і сума ділиться на це число.

Доведення. Розглянемо суму . Нехай спільний дільник її доданків, тобто , ,..., . Тоді Отже, – дільник суми

Теорема 2. Якщо зменшуване і від’ємник діляться на одне і теж число, то і різниця ділиться на це число.

Доведення. Розглянемо різницю . Нехай дільник чисел , тобто , . Тоді . Отже, ділиться на .

Теорема 3. Якщо кожен із доданків, крім одного, ділиться на яке-небудь число, а цей один на нього не ділиться, то і сума не ділиться на це число

Доведення. Розглянемо суму . Нехай діляться на . Розглянемо різницю . Скористаємося методом від супротивного. Нехай сума діляться на . В силу того, що кожен доданок ділиться на , то за Т.-1 і ділиться на . Тоді за Т.-2 різниця теж ділиться на . Але різниця дорівнює с. Отже, с ділиться на , що суперечить умові теореми. Теорема доведена.

Теорема 4. Якщо множник ділиться на яке-небудь число, то і добуток ділиться на це число.

Доведення. Розглянемо добуток . Нехай а ділиться на , тоді , де – натуральне число. Маємо . За означенням відношення „ділиться” ділиться на .

Теорема 5. Якщо число ділиться на добуток двох чисел, то воно ділиться на кожне з цих чисел.

Доведення. Якщо число а ділиться на , то . Що і доводить теорему.

Теорема 6. Якщо добуток ділиться на і одне з цих чисел не має з спільних дільників, крім одиниці, то інше з них ділиться на .

Доведення. Нехай не має з спільних дільників. Доведемо, що а ділиться на . Оскільки, не має з спільних дільників, то ,. . і не мають спільних дільників (інакше цей дільник був би дільником і числа , що суперечить умові). З того, що маємо . Аналогічні міркування проводимо щодо і . . Щоразу остачі більші від 1. Процес ділення не нескінченний, оскільки остачі зменшуються. . А натуральних чисел менших скінченне число. Тоді через певне число кроків процес ділення приведе до остачі 1. Нехай це буде -на остача .

.................

.

Помножимо кожну із рівностей на .

.................

Розглянемо першу рівність. ділиться на за умовою. За Т.-4 ділиться на . Тоді за Т.-2 їх різниця ділиться на . Аналогічні міркування щодо наступних рівностей приведуть до того, що остання остача ділиться на , що і потрібно було довести.

Теорема 7. Якщо число ділиться на два деякі числа, що не мають спільних дільників крім одиниці, то воно ділиться на їх добуток.

Доведення. Оскільки ділиться на , то . Оскільки ділиться на , то ділиться на . Тоді ділиться на . Отже, , . А це означає, що ділиться на .

Ознаки подільності.

Означення: Число називається парним, якщо воно ділиться на 2. у інших випадках число називається непарним.

Ознака подільності на 2. На 2 діляться усі ті і тільки ті числа, які закінчуються парною цифрою.

Доведення. Запишемо натуральне число у десятковій системі числення через стандартний вид числа . За дистрибутивним законом . Або .

Доведемо необхідність. за Т.-4 ділиться на 2. Запишемо різницю . Якщо ділиться на 2, то за Т.-2 ділиться на 2.

Доведемо достатність. Якщо число ділиться на 2, то за Т.-1 цього досить, щоб і ділилось на 2.

Ознака подільності на 3. На 3 діляться усі ті і тільки ті числа, у яких сума цифр ділиться на 3.

Доведення. Розглянемо правильні числові рівності. , , , ... Тоді число можна представити як . Або , де – сума цифр числа.

Доведемо необхідність. Оскільки 9 ділиться на 3, то за Т.- 4 і ділиться на 3. Отже, для того, щоб ділилось на 3, необхідно, щоб (сума цифр числа) ділилось на 3.

Доведемо достатність. Якщо сума цифр ділиться на 3, то за Т.1 цього досить, щоб ділилось на 3.

Наслідок. Якщо сума цифр числа при діленні на 3 дає остачу, то і саме число при діленні на 3 дає цю ж остачу.

Ознака подільності на 4. На 4 діляться усі ті і тільки ті числа, у яких дві останні цифри утворюють число, яке ділиться на 4.

Доведення. За дистрибутивним законом , або , де – число утворене двома останніми цифрами числа.

Доведемо необхідність. Число 100 ділиться на 4. Тоді за Т.-4 ділиться на 4. Запишемо різницю . Якщо ділиться на 4, то за Т.-2 необхідно, щоб ділилось на 4.

Доведемо достатність. Якщо число ділиться на 4, то за Т.- 1 цього досить, щоб число ділилось на 4.

Ознака подільності на 5. На 5 діляться усі ті і тільки ті числа, які закінчуються на 0 або 5.

Доведення. З ознаки подільності на 2 , де – остання цифра числа.

Доведемо необхідність. Оскільки 10 ділиться на 5, то за Т.-4 число ділиться на 5. Якщо ділилось на 5, то за Т.-2 необхідно, щоб ділилось на 5. а це 0 і 5.

Доведемо достатність. Якщо число ділиться на 5, то за Т.- 1 цього досить, щоб число ділилось на 5.

Ознака подільності на 6. На 6 діляться усі ті і тільки ті числа, які діляться на 2 і на 3.

Доведення. Доведемо необхідність. Оскільки число ділиться на 6, то за Т.-4 воно ділиться на 2 і на 3 (його співмножник 6 ділиться на 2 і на 3).

Доведемо достатність. Оскільки число ділиться на 2 і на 3, то за Т.-7 (числа 2 і 3 не мають спільних дільників відмінних від 1), цього досить, щоб число ділилось на 6.

Ознака подільності на 7. Існує багато ознак подільності на 7, однак вони не практичні у застосуванні.. одна з них: Число ділиться на 7, якщо різниця між числом його десятків і подвоєним числом його одиниць ділиться на 7. (Довести самостійно).

Ознака подільності на 8. На 8 діляться усі ті і тільки ті числа, у яких три останні цифри утворюють число, яке ділиться на 8.

Доведення. За дистрибутивним законом , або , де – число утворене трьома останніми цифрами числа.

Доведемо необхідність. Число 1000 ділиться на 8. Тоді за Т.-4 ділиться на 8. Запишемо різницю . Якщо ділиться на 8, то за Т.-2 необхідно, щоб ділилось на 8.

Доведемо достатність. Якщо число ділиться на 8, то за Т.- 1 цього досить, щоб число ділилось на 8.

Ознака подільності на 9. На 9 діляться усі ті і тільки ті числа, у яких сума цифр ділиться на 9.

Доведення аналогічне доведенню ознаки подільності на 3.

Наслідок. Якщо сума цифр числа при діленні на 9 дає остачу, то і саме число при діленні на 9 дає цю ж остачу.

Ознака подільності на 10. На 10 діляться усі ті і тільки ті числа, які закінчуються на 0.

Доведення аналогічне доведенню ознаки подільності на 5.