Описание установки

В работе используется составное тело, осью которого является цилиндрический стержень радиусом . Одно из тел 1 (рис. 3) помещают на параллельные направляющие 2, образующие с горизонтом углы и , и фиксируют электромагнитом 3.

Если тело отпустить, то оно, скатываясь, достигнет нижней точки и, двигаясь далее по инерции, поднимется вверх по направляющим.

Описание метода измерений

Тело, скатываясь с наклонной плоскости, проходит путь и спускается с высоты . В нижней точке скорость поступательного движения максимальна и равна , где – время движения от верхней точки до нижней. Угловая скорость тела в этой точке , где – радиус стержня (оси). Далее тело, проходя по инерции расстояние по наклонной плоскости, останавливается на высоте .

При движении на тело действует сила тяготения, сила реакции опоры и, не совершающая работы, сила трения покоя, приложенная в точке контакта оси с наклонной плоскостью и создающая вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. Также на тело действует сила трения качения, которая задается величиной момента , вектор которой направлен против вектора угловой скорости. На всем пути тела до остановки момент силы трения качения совершает работу, которую можно вычислить с помощью закона сохранения механической энергии

, (1)

где – угловой путь, пройденный телом, – масса скатывающегося тела, = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения.

Из уравнения (1) получаем

. (2)

Для нижней точки траектории тела запишем соотношение

(3)

и выразим из него – момент инерции скатывающегося тела относительно мгновенной оси вращения. При малых значениях аргумента синус можно заменить по формуле приближенных вычислений ( измеряется в радианах), тогда получаем окончательное выражение для вычисления момента инерции:

. (4)*

Здесь величина – является постоянной, которая указана на установке.

В качестве основной рабочей формулы для определения момента инерции скатывающегося тела динамическим методом выберем формулу (4), в которой масса всего тела , радиус оси , параметры установки и могут быть определены с малой погрешностью. Для уменьшения влияния случайных факторов, измерения времени движения тела и пути , проходимого телом до остановки, необходимо провести несколько раз, подставляя в выражение (4) их усредненные значения.

Выполнение работы

Задание 1. Определение момента инерции тела динамическим методом.

1. Рассчитать теоретическое значение момента инерции тела относительно центра масс. Так как момент инерции любого тела равен сумме моментов инерции отдельных его элементов, мысленно разделить исследуемое тело на простые элементы, для которых формулы расчета величины момента инерции известны:

а) диск, цилиндр: , – радиус диска, цилиндра (5)*

б) пластина: . (6)*

Записать в табл. 1 массы элементов (указаны на элементах). Радиус оси , радиус диска и размеры пластины и измерить штангенциркулем.

Таблица 1

№ п/п	Элемент тела вращения	Масса, mi, кг	Геометрические параметры, м	Момент инерции , кгм2
1	Диск
2	Ось (цилиндр)
3	Пластина
	Тело

Момент инерции тела относительно МОВ определяется теоремой Штейнера

, (7)*

где – момент инерции относительно центра масс, – расстояние от центра масс тела до оси вращения (в этом опыте , т.е. радиусу оси).

Рассчитать момент инерции тела относительно МОВ по формуле (7) и записать в табл. 1.

2. Записать значение постоянной установки в табл. 2.

3. Проверить правильность положения установки. Для регулировки использовать винты основания. При скатывании тело не должно смещаться к одной из направляющих.

4. Включить секундомер. Установить тело с левой стороны на направляющие на расстоянии от нижней точки, прижав его к упорам. Положение тела фиксируется магнитом по нажатию кнопки электромагнита.

5. Нажать кнопку секундомера «Пуск». При этом электромагнит отключится и тело начнет двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундомер автоматически выключится. Записать время движения тела до нижней точки в табл. 2.

6. Далее, наблюдая за движением тела по инерции, отметить расстояние , на которое оно поднимется до остановки.

7. Опыт повторить еще четыре раза при том же расстоянии , записывая результаты в табл. 2.

8. Найти средние значения величин , и по формуле (4) рассчитать момент инерции тела относительно МОВ.

Таблица 2

рад, 0,51 м.
№	, с	, м
1
2
3
4
5
среднее значение

9. Оценить суммарную относительную погрешность определения момента инерции

. (8)*

10. Записать окончательный результат с учетом погрешности.

11. Сделать вывод.

Задание 2. Изучение зависимости момента инерции от распределения массы относительно оси вращения.

В этом задании используется тело в виде крестовины, по которой могут перемещаться грузы – цилиндры. Все результаты измерений занести в табл. 3.

1. Определить массу всего тела и радиус оси тела, и записать постоянную установки .

2 . Установить подвижные цилиндры на минимальном расстоянии от оси вращения и измерить это расстояние штангенциркулем.

Примечания:

а) когда грузы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, тело должно находиться в безразличном положении равновесия на горизонтальных направляющих;

б) так как цилиндры имеют одинаковый размер, расстояние между центрами грузов равно расстоянию между их торцами, которое можно измерить значительно точнее (см. рис. 4);

в) размеры и могут быть определены с помощью штангенциркуля с минимальной погрешностью, тогда

.

Таблица 3

№	, м	, c	, м	, м2	, кгм2	рад кг 0,135 кг = м = 0,51 м
1
2
3
4
5

3. Установить тело на направляющие на расстоянии от нижней точки, прижав его к упорам. Положение тела фиксируется магнитом нажатием кнопки электромагнита.

4. Нажать кнопку секундомера «Пуск». При этом электромагнит отключится, и тело начнет двигаться. Когда тело достигнет нижней точки, секундомер автоматически выключится. Записать время движения тела до нижней точки в табл. 3.

5. Отметить расстояние , на которое пройдет тело, поднимаясь по инерции.

6. Повторить измерения п.п. 3–5 при других расстояниях цилиндров, относительно оси вращения.

7. Рассчитать и момент инерции тела (формула 4) для каждого опыта.

8. Построить график зависимости (см. рис. 5).

9. Экстраполируя график на ось ординат, определить наименьший момент инерции тела .

1 0. Выбрать на концах экспериментальной прямой две точки 1 и 2 и рассчитать среднее значение углового коэффициента, т.е. массу грузов.

. (9)*

11. Оценить случайную погрешность определения массы груза как половину случайной погрешности определения углового коэффициента:

, (10)*

где – количество экспериментальных точек, – коэффициент Стьюдента.

12. Оценить суммарную относительную погрешность, которая характеризует точность выполнения теоремы Штейнера

. (11)*

13. Сделать выводы.

46