Работа № 5

Определение момента инерции тела, скатывающегося с наклонной поверхности

Цель: определить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения расчётным и экспериментальным методом.

Оборудование: установка, набор тел, штангенциркуль, секундомер.

Введение

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси вращения называется величина , равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси:

.

Физический смысл этой величины становится ясным при сравнении математической записи основного уравнения динамики вращательного движения системы и второго закона Ньютона для материальной точки . Здесь – составляющая результирующего момента внешних сил относительно оси вращения, – угловое ускорение неизменяемой системы материальных точек. При вращении системы, момент инерции играет роль массы, т.е. служит мерой инерции системы при вращательном движении.

П ри вычислении момента инерции абсолютно твердого тела плотностью объемом и массой относительно оси его разбивают на физически малые элементы (см. рис. 1). Тогда момент инерции всего тела

.

В случае простых симметричных тел наиболее удобной для вычисления оказывается величина – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Выражения для даются в справочниках и их легко получить самостоятельно. Например, для однородного диска или цилиндра радиуса и массой момент инерции относительно оси симметрии равен , а для однородной пря­мо­у­голь­ной пластины массы с размерами и момент инерции относительно оси, перпендикулярной ее плоскости, равен .

В лабораторной работе одно из используемых тел (см. рис. 2), состоит из оси (цилиндра), пластины и диска. Момент инерции всего тела является суммой моментов инерции его составных частей:

.

В механике доказывается важное геометрическое соотношение, которое называется теоремой Гюйгенса–Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной , где – масса тела, – расстояние между осями:

.

Это соотношение позволяет значительно упростить решение задач динамики, связанных с вычислением моментов инерции относительно параллельных осей.

В данной лабораторной работе будет определяться момент инерции тела, скатывающегося по наклонной поверхности. Такое движение тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного относительно оси, перпендикулярной направлению движения. При этом траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях (плоское движение). Плоское движение можно представить двумя способами: либо как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения (МОВ), положение которой непрерывно изменяется. В нашем случае эта мгновенная ось вращения проходит через точки касания направляющих с движущимся стержнем параллельно оси, проходящей через центр масс тела.