Этап 2. Уточнение корней
Проведем уточнение корней уравнения sin(x)=0 на интервале 3.1<х<3,25, воспользовавшись алгоритмом метода дихотомии.
1) Введем заголовки новой таблицы:
E5 ‘Уточнение корней методом дихотомий .
D6’A E6 ‘B F6 ‘P G6 ‘F(A) H6 ‘F(B) I6 ‘F(P)
J6 ‘B-A .
2) Введем начальные значения A и B концов отрезка, P – его середины, значений функции F(A), F(B), F(P) и интервала неопределенности B-A:
D7 3,1 E7 3,25 F7 =(E7+D7)/2 G7 =sin(D7) H7 =sin(E7)
I7 =sin(F7) J7 =E7-D7 .
3) В клетки D8, E8 записываем логические функции поиска концов следующего интервала
D8 =ЕСЛИ(G7*I7>0;F7;D7) E8 =ЕСЛИ(H7*I7>0;F7;E7) .
4) Скопируем диапазон F?-A<7:J7 в диапазон F8:J8.
5) Скопируем диапазон D8:J8 в диапазон D9:J20.
В результате выполнения этих действий на экране будет представлено следующее:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
1 |
|
Лабораторная работа №1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
Иванов И.И. Группа СЭ21 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
Отделение корней уравнения sin(x)=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
Хнач= |
1 |
Хкон= |
4 |
Н= |
0,15 |
|
|
|
|
|
5 |
Х |
F |
|
|
Уточнение корней методом дихотомий |
|
|
|
|||
6 |
1 |
0,84147 |
|
A |
B |
P |
F(A) |
F(B) |
F(P) |
B-A |
N |
7 |
1,15 |
0,91276 |
|
3,1 |
3,25 |
3,175 |
0,04158 |
-0,10820 |
-0,03340 |
0,15000 |
1 |
8 |
1,3 |
0,96356 |
|
3,1 |
3,175 |
3,1375 |
0,04158 |
-0,03340 |
0,00409 |
0,07500 |
2 |
9 |
1,45 |
0,99271 |
|
3,1375 |
3,175 |
3,15625 |
0,00409 |
-0,03340 |
-0,01466 |
0,03750 |
3 |
10 |
1,6 |
0,99957 |
|
3,1375 |
3,15625 |
3,146875 |
0,00409 |
-0,01466 |
-0,00528 |
0,01875 |
4 |
11 |
1,75 |
0,98399 |
|
3,1375 |
3,146875 |
3,142188 |
0,00409 |
-0,00528 |
-0,00059 |
0,00937 |
5 |
12 |
1,9 |
0,94630 |
|
3,1375 |
3,142188 |
3,139844 |
0,00409 |
-0,00059 |
0,00175 |
0,00469 |
6 |
13 |
2,05 |
0,88736 |
|
3,139844 |
3,142188 |
3,141016 |
0,00175 |
-0,00059 |
0,00058 |
0,00234 |
7 |
14 |
2,2 |
0,80850 |
|
3,141016 |
3,142188 |
3,141602 |
0,00058 |
-0,00059 |
-0,00001 |
0,00117 |
8 |
15 |
2,35 |
0,71147 |
|
3,141016 |
3,141602 |
3,141309 |
0,00058 |
-0,00001 |
0,00028 |
0,00059 |
9 |
16 |
2,5 |
0,59847 |
|
3,141309 |
3,141602 |
3,141455 |
0,00028 |
-0,00001 |
0,00014 |
0,00029 |
10 |
17 |
2,65 |
0,47203 |
|
3,141455 |
3,141602 |
3,141528 |
0,00014 |
-0,00001 |
0,00006 |
0,00015 |
11 |
18 |
2,8 |
0,33499 |
|
3,141528 |
3,141602 |
3,141565 |
0,00006 |
-0,00001 |
0,00003 |
0,00007 |
12 |
19 |
2,95 |
0,19042 |
|
3,141565 |
3,141602 |
3,141583 |
0,00003 |
-0,00001 |
0,00001 |
0,00004 |
13 |
20 |
3,1 |
0,04158 |
|
3,141583 |
3,141602 |
3,141592 |
0,00001 |
-0,00001 |
0,00000 |
0,00002 |
14 |
21 |
3,25 |
-0,10820 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
3,4 |
-0,25554 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
3,55 |
-0,39715 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
3,7 |
-0,52984 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
3,85 |
-0,65063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
4 |
-0,75680 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После выполнения этих действий в клетках столбца F будут находиться последовательные приближения к точному значению корня с интервалом неопределенности, который отражается в столбце J. Величина интервала неопределенности на каждом шаге уменьшается вдвое. Как только интервал станет меньше заданной точности ε, то мы можем считать задачу выполненной. Пусть нам задана точность ε=0,001, тогда из приведенной выше таблицы видно, что в качестве ответа можно взять значение 3,141309±0,001, находящееся в клетке F15 (количество итераций – 9). Если же задано ε=0,0001, то данной точности удовлетворяет значение корня 3,141565±0,0001 в клетке F18 (количество итераций – 12).
Студентам предлагается самостоятельно видоизменить таблицу метода дихотомий применительно к методу хорд. Для этого достаточно лишь изменить содержимое клеток столбца F (величина Р ) в соответствии с вычислительной формулой метода хорд и столбца J в соответствии с критерием окончания вычислительного процесса в методе хорд.
Для каждого из методов указать значения найденного корня, соответствующие следующим значениям точности: 0.001, 0.0001, 0.00001.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какие уравнения называются трансцендентными?
Назовите два этапа решения трансцендентных уравнений в порядке их выполнения. В чем заключается идея первого этапа?
Почему, с какой целью в методе дихотомии при выборе отрезка половинного деления используются произведения F(a)F(p) и F(b)F(p)?
Геометрическая интерпретация метода хорд. Постройте его алгоритм решения.
Запишите вывод формулы нахождения координаты точки Р в методе хорд. Запишите условие отбора отрезка, где находится искомый корень уравнения.
Почему в методе хорд нельзя использовать в качестве критерия окончания вычислительного процесса выполнение неравенства B-A<?
Охарактеризуйте различие геометрической интерпретации метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона. Какой из перечисленных методов имеет лучшую сходимость, а какой более прост в реализации?
Запишите итерационную формулу модифицированного метода Ньютона.
Запишите условие сходимости метода простых итераций. Преобразуйте следующие уравнения к итерационному виду, для которого выполнялось бы условие сходимости
а) x2+2х=0 на промежутке (-2.5, -1.5);
б) Ln x = 2х2 – 5х-3 на промежутке (1.5, 3.0);
в) x2 – 3x + 2 = 0 на промежутке (1.6, 2.8).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 1 |
Подгруппа 2 |
№ |
Уравнение |
Промежуток |
|
№ |
Уравнение |
Промежуток |
||
х н |
х к |
|
х н |
х к |
||||
1 |
|
-3 |
2 |
|
1 |
|
1 |
8 |
2 |
|
-9,5 |
0,5 |
|
2 |
|
-10 |
10 |
3 |
|
-1,5 |
4,5 |
|
3 |
|
-1 |
6 |
4 |
|
-1 |
5 |
|
4 |
|
2 |
10 |
5 |
|
-9 |
-2 |
|
5 |
|
1 |
6 |
6 |
|
-12 |
-10 |
|
6 |
|
1 |
10 |
7 |
|
0 |
5 |
|
7 |
|
1 |
5 |
8 |
|
-2 |
3 |
|
8 |
|
3 |
9 |
9 |
|
-5 |
5 |
|
9 |
|
0 |
6 |
10 |
|
1 |
10 |
|
10 |
|
0 |
5 |
11 |
|
1 |
10 |
|
11 |
|
-6 |
4 |
12 |
|
0 |
10 |
|
12 |
|
-1 |
5 |
13 |
|
-5 |
5 |
|
13 |
|
-10 |
10 |
14 |
|
5 |
20 |
|
14 |
|
1 |
12 |
15 |
|
-1 |
3 |
|
15 |
|
-3 |
3 |
16 |
|
0 |
10 |
|
16 |
|
-1 |
11 |
17 |
|
1 |
20 |
|
17 |
|
-6 |
6 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2
АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА
ЗАДАНИЕ
Даны узловые точки Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 и соответствующие им известные значения аппроксимируемой функции F(x): F1, F2, F3, F4, F5.
Требуется :
построить интерполяционные полиномы Ньютона второго - P2(x) и четвертого – P4(x) порядков. В качестве исходных данных для построения P2(x) в качестве (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2) взять точки (Х1,F1), (Х3,F3), (Х5,F5), а для построения P4(x) в качестве (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2), (x3,f3), (x4,f4) взять точки (Х1,F1), (Х2,F2), (Х3,F3), (Х4,F4), (Х5,F5);
построить таблицы значений аппроксимируемой функции F(x) и полиномов P2(x), P4(x) на промежутке [XN, XK] с разбиением его на 20 частей (в данном задании функция F(x) известна и указана в таблицах вариантов);
по результатам пункта 2 построить совместные графики F(x),P2(x) и F(x),P4(x);
найти среднеквадратические отклонения P2(x) от F(x) и P4(x) от F(x) на промежутке [Х1, Х5] (ошибка интерполяции) и вне его (ошибка экстраполяции) по формуле:
Для защиты лабораторной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:
-аналитическую запись полученных полиномов;
-полученные для обоих полиномов значения ошибок интерполяции и экстраполяции;
-ответы на контрольные вопросы.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Порядок выполнения работы поясним на конкретном примере.
Пусть даны следующие узловые точки и соответствующие им значения аппроксимируемой функции: X1=3,770;F1=-2,216; X2=5,027;F2=-4,781; X3=5,655;F3=-3,324; X4=6,912;F4=4,062; X5=8,168; F5=7,768. В соответствии с заданием известен вид аппроксимируемой функции: F(x)=xsinx. Табулирование F(x) и полиномов P2(x), P4(x) требуется выполнить на промежутке [0.5π, 3.5π].
Внесем в электронную таблицу исходные данные для аппроксимации:
А1’Аппроксимация зависимостей
А2’Интерполяционный полином Ньютона
А3’Исходные данные для аппроксимации
А4’Х1 B4’X2 C4’X3 D4’X4 E4’X5 F4’F1 G4’F2 H4’F3 I4’F4 J4’F5
А53,770 B55,027 C55,655 D56,912 E58,168
F5 -2,216 G5 -4,781 H5 -3,324 I54,062 J57,768
Создадим электронную таблицу для расчета коэффициентов полинома P2(x).
Заголовок таблицы:
А6’Полином Р2(х):
A7’X B7’F,A0 C7’I,A1 D7’II,A2
Столбцы исходных данных:
A8=A5 B8=F5
A9=C5 B9=H5
A10=E5 B10=J5
Клетки для разделенных разностей и коэффициентов полинома:
С9=(B9-B8)/(A9-A8)
С10=(B10-B8)/(A10-A8) D10=(C10-C9)/(A10-A9)
Создадим электронную таблицу для расчета коэффициентов полинома P4(x).
Заголовок таблицы:
А11’Полином Р4(х):
A12’X B12’F,A0 C12’I,A1 D12’II,A2 E12’III,A3 F12’IV,A4
Столбцы исходных данных:
A13=A5 B13=F5
A14=B5 B14=G5
A15=C5 B15=H5
A16=D5 B16=I5
A17=E5 B17=J5
Клетки для разделенных разностей и коэффициентов полинома:
С14=(B14-$B$13)/(A14-$A$13) ; копируем С14 в С15:С17
D15=(C15-$C$14)/(A15-$A$14) ; копируем D15 в D16:D17
E16=(D16-$D$15)/(A16-$A$15) ; копируем E16 в E17
F17=(E17-E16)/(A17-A16)
Внесем в электронную таблицу исходные данные для табулирования F(x), P2(x), P4(x):
A18’Табулирование F(x), P2(x), P4(x):
B19’Xn= C19=0,5*ПИ()
B20’Xk= C20=3,5*ПИ()
B21’h= C21=(C20-C19)/20
A22’X B22’F(x) C22’P2(x) D22’P4(x)
A23=C19 A24=A23+$C$21 ; копируем A24 в A25:A43
B23=A23*SIN(A23)
C23=$B$8+$C$9*(A23-$A$8)+$D$10*(A23-$A$8)*(A23-$A$9)
D23=$B$13+$C$14*(A23-$A$13)+$D$15*(A23-$A$13)*(A23-$A$14)+
$E$16*(A23-$A$13)*(A23-$A$14)*(A23-$A$15)+
$F$17*(A23-$A$13)*(A23-$A$14)*(A23-$A$15)*(A23-$A$16)
Копируем B23:D23 в B24:D43
Построение совместных графиков F(x), P2(x) и F(x), P4(x):
Выделяем
диапазоны A23:A43,
B23:B43 и C23:C43;
Мастер
диаграмм
Точечные
…
Выделяем диапазоны A23:A43, B23:B43 и D23:D43; Мастер диаграмм Точечные …
Построение таблицы для расчета ошибок аппроксимации
G20’Расчет ошибок G21’аппроксимации
G22’(F-P2)^2 H22’(F-P4)^2
G23=(B23-C23)^2 H23=(B23-D23)^2
Копируем G23:H23 в G24:H43
D45’Ошибка интерполяции
D46’Ошибка экстраполяции
G45=КОРЕНЬ(СУММ(G28:G37)/10)
H45=КОРЕНЬ(СУММ(H28:H37)/10)
G46=КОРЕНЬ((СУММ(G23:G27)+СУММ(G38:G43))/11) H46=КОРЕНЬ((СУММ(H23:H27)+СУММ(H38:H43))/11)
Полученная в результате описанных действий электронная таблица приведена на следующей странице. Студентам предлагается в соответствии с ней отформатировать свою таблицу. Индивидуальные варианты задания приведены ниже.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
||||||
1 |
Аппроксимация зависимостей |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
Интерполяционный полином Ньютона |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
Исходные данные для аппроксимации |
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
||||||
5 |
3,770 |
5,027 |
5,655 |
6,912 |
8,168 |
-2,216 |
-4,781 |
-3,324 |
4,062 |
7,768 |
||||||
6 |
Полином Р2(х): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
X |
F, A0 |
I, A1 |
II, A2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
3,770 |
-2,216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9 |
5,655 |
-3,324 |
-0,588 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
8,168 |
7,768 |
2,270 |
1,137 |
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
Полином Р4(х): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
X |
F, A0 |
I, A1 |
II, A2 |
III, A3 |
IV, A4 |
|
|
|
|
||||||
13 |
3,770 |
-2,216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14 |
5,027 |
-4,781 |
-2,041 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15 |
5,655 |
-3,324 |
-0,588 |
2,313 |
|
|
|
|
|
|
||||||
16 |
6,912 |
4,062 |
1,998 |
2,143 |
-0,135 |
|
|
|
|
|
||||||
17 |
8,168 |
7,768 |
2,270 |
1,372 |
-0,374 |
-0,190 |
|
|
|
|
||||||
18 |
Табулирование F(x), P2(x), P4(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19 |
|
Xn= |
1,571 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20 |
|
Xk= |
10,996 |
|
|
|
Расчет ошибок |
|
|
|||||||
21 |
|
h= |
0,471 |
|
|
|
аппроксимации |
|
|
|||||||
22 |
X |
F(x) |
P2(x) |
P4(x) |
|
|
(F-P2)^2 |
(F-P4)^2 |
|
|
||||||
23 |
1,571 |
1,571 |
9,289 |
-7,504 |
|
|
5,958E+01 |
8,235E+01 |
|
|
||||||
24 |
2,042 |
1,819 |
5,898 |
-1,511 |
|
|
1,664E+01 |
1,109E+01 |
|
|
||||||
25 |
2,513 |
1,477 |
3,012 |
0,688 |
|
|
2,355E+00 |
6,222E-01 |
|
|
||||||
26 |
2,985 |
0,467 |
0,631 |
0,474 |
|
|
2,680E-02 |
5,139E-05 |
|
|
||||||
27 |
3,456 |
-1,068 |
-1,246 |
-1,001 |
|
|
3,160E-02 |
4,531E-03 |
|
|
||||||
28 |
3,927 |
-2,777 |
-2,617 |
-2,807 |
|
|
2,558E-02 |
8,956E-04 |
|
|
||||||
29 |
4,398 |
-4,183 |
-3,483 |
-4,241 |
|
|
4,899E-01 |
3,362E-03 |
|
|
||||||
30 |
4,869 |
-4,810 |
-3,844 |
-4,825 |
|
|
9,319E-01 |
2,396E-04 |
|
|
||||||
31 |
5,341 |
-4,321 |
-3,700 |
-4,306 |
|
|
3,849E-01 |
2,214E-04 |
|
|
||||||
32 |
5,812 |
-2,639 |
-3,051 |
-2,656 |
|
|
1,705E-01 |
2,927E-04 |
|
|
||||||
33 |
6,283 |
0,000 |
-1,898 |
-0,072 |
|
|
3,601E+00 |
5,171E-03 |
|
|
||||||
34 |
6,754 |
3,066 |
-0,239 |
3,023 |
|
|
1,092E+01 |
1,902E-03 |
|
|
||||||
35 |
7,226 |
5,846 |
1,925 |
5,981 |
|
|
1,537E+01 |
1,823E-02 |
|
|
||||||
36 |
7,697 |
7,602 |
4,594 |
7,929 |
|
|
9,047E+00 |
1,066E-01 |
|
|
||||||
37 |
8,168 |
7,768 |
7,768 |
7,768 |
|
|
7,889E-31 |
7,100E-30 |
|
|
||||||
38 |
8,639 |
6,109 |
11,447 |
4,176 |
|
|
2,850E+01 |
3,735E+00 |
|
|
||||||
39 |
9,111 |
2,815 |
15,631 |
-4,396 |
|
|
1,643E+02 |
5,200E+01 |
|
|
||||||
40 |
9,582 |
-1,499 |
20,321 |
-19,723 |
|
|
4,761E+02 |
3,321E+02 |
|
|
||||||
41 |
10,053 |
-5,909 |
25,515 |
-43,803 |
|
|
9,874E+02 |
1,436E+03 |
|
|
||||||
42 |
10,524 |
-9,377 |
31,214 |
-78,861 |
|
|
1,648E+03 |
4,828E+03 |
|
|
||||||
43 |
10,996 |
-10,996 |
37,418 |
-127,347 |
|
|
2,344E+03 |
1,354E+04 |
|
|
||||||
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
45 |
|
|
|
Ошибка интерполяции |
2,023 |
0,117 |
|
|
||||||||
46 |
|
|
|
Ошибка экстраполяции |
22,816 |
42,941 |
|
|
||||||||
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что понимается под термином аппроксимация?
Сформулируйте задачу интерполяции и экстраполяции.
Сформулируйте условия Лагранжа при интерполяции.
Для аппроксимации функции F(x) на участке [a,b] был выбран интерполяционный полином Ньютона. После построения интерполяционного полинома Ньютона были найдены значения функции в точке a<x1<b и x2>b. В каком случае ожидаемая точность полученного значения выше и почему?
Перечислите известные вам способы построения интерполяционного полинома.
В каком случае применение полинома Лагранжа более оправдано по сравнению с использованием канонического полинома и почему?
Для чего используется схема Горнера? Составьте алгоритм данной схемы.
Чему приблизительно равна разделенная разность первого порядка, второго порядка? Почему?
В чем состоит идея сплайн-интерполяции?
Почему сплайн-интерполяция дает большую степень точности, чем интерполяция каноническим полиномом?
Почему в сплайн-интерполяции чаще всего применяют кубические сплайны?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 1
№ |
Узловые точки |
Расчетные значения F(x) |
[XN, XK] |
F(x) |
||||||||
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
|||
1 |
-1,30 |
0,05 |
0,95 |
1,85 |
3,20 |
1,04 |
2,05 |
2,81 |
2,96 |
1,94 |
[-4; 5] |
|
2 |
-0,70 |
-0,10 |
0,70 |
1,50 |
1,90 |
-0,36 |
-0,05 |
0,36 |
0,93 |
1,40 |
[-1,5; 2,5] |
|
3 |
2,30 |
4,30 |
6,30 |
7,30 |
8,80 |
0,32 |
-0,21 |
0 |
0,12 |
0,07 |
[0,3; 10,3] |
|
4 |
1,40 |
1,80 |
2,20 |
2,40 |
2,70 |
-0,59 |
0,69 |
1,78 |
1,38 |
0,15 |
[1; 3] |
|
5 |
2,20 |
2,80 |
3,40 |
3,70 |
4,15 |
-1,34 |
-1,09 |
-1,27 |
-1,54 |
-2,67 |
[1,6; 4,6] |
|
6 |
2,10 |
4,10 |
5,70 |
7,30 |
8,10 |
1,89 |
1,74 |
1,53 |
1,36 |
1,29 |
[1,3; 9,3] |
|
7 |
1,80 |
2,70 |
3,60 |
4,50 |
6,30 |
0,37 |
-0,24 |
-0,67 |
-0,59 |
0,51 |
[1,2; 7,2] |
|
8 |
2,50 |
4,00 |
6,50 |
7,50 |
9,00 |
-0,34 |
-0,09 |
0,27 |
0,43 |
0,70 |
[1; 11] |
|
9 |
1,15 |
1,30 |
1,50 |
1,75 |
1,85 |
2,28 |
4,09 |
5,13 |
4,78 |
6,02 |
[1; 2] |
|
10 |
5,20 |
7,20 |
8,40 |
10,00 |
11,20 |
-6,97 |
-5,61 |
-6,69 |
-11,08 |
-13,16 |
[4; 12] |
|
11 |
4,10 |
4,30 |
4,70 |
4,90 |
5,10 |
0,81 |
1,12 |
0,53 |
0,1 |
0,04 |
[3,5; 5,5] |
|
12 |
0,75 |
1,50 |
2,50 |
4,00 |
4,50 |
2,71 |
1,15 |
0,38 |
2,69 |
1,51 |
[0; 5] |
|
13 |
2,50 |
3,25 |
4,50 |
5,00 |
6,00 |
1,93 |
2,00 |
1,68 |
1,39 |
0,41 |
[2; 7] |
|
14 |
3,20 |
4,80 |
6,00 |
7,60 |
8,80 |
1,34 |
0,91 |
0,54 |
0,22 |
0,1 |
[2,4; 10,4] |
|
15 |
2,35 |
4,15 |
5,05 |
6,85 |
8,20 |
0,89 |
0,74 |
0,63 |
1,42 |
2,01 |
[6; 10] |
|
16 |
1,60 |
1,80 |
2,00 |
2,15 |
2,35 |
-0,03 |
-0,09 |
-0,11 |
-0,11 |
-0,10 |
[1,5; 2,5 ] |
|
17 |
-0,55 |
-0,25 |
0,20 |
0,80 |
1,40 |
0,47 |
1,10 |
-1,22 |
1,10 |
-2,31 |
[-1;2] |
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 2
№ |
Узловые точки |
Расчетные значения F(x) |
[XN, XK] |
F(x) |
||||||||
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
|||
1 |
2,60 |
3,50 |
4,40 |
5,00 |
7,10 |
3,14 |
3,06 |
3,69 |
4,28 |
4,68 |
[2; 8] |
|
2 |
1,30 |
1,70 |
1,90 |
2,30 |
2,60 |
0,28 |
-0,13 |
-0,34 |
-0,89 |
-1,66 |
[1; 3] |
|
3 |
3,20 |
4,80 |
5,60 |
7,20 |
8,40 |
-0,05 |
-0,64 |
-0,37 |
0,40 |
0,40 |
[2; 10] |
|
4 |
0,40 |
0,80 |
1,00 |
1,40 |
1,70 |
0,93 |
1,17 |
1,08 |
0,68 |
0,27 |
[0,1; 2,1] |
|
5 |
5,20 |
6,80 |
7,60 |
9,20 |
10,40 |
2,00 |
0,02 |
-1,27 |
0,33 |
3,85 |
[4; 12] |
|
6 |
2,08 |
2,50 |
3,20 |
3,48 |
4,04 |
10,11 |
10,75 |
12,74 |
13,57 |
14,90 |
[1,8; 4,6] |
|
7 |
0,35 |
0,55 |
0,65 |
0,90 |
1,05 |
17,32 |
7,59 |
5,69 |
3,31 |
2,51 |
[0,2; 1,2] |
|
8 |
-0,25 |
0,75 |
1,25 |
2,50 |
3,25 |
0,94 |
0,64 |
0,39 |
0,14 |
0,09 |
[-1; 4] |
|
9 |
2,30 |
3,50 |
4,10 |
5,60 |
6,50 |
1,89 |
2,70 |
3,59 |
8,62 |
15,74 |
[1,4; 7,4] |
|
10 |
1,15 |
1,35 |
1,45 |
1,70 |
1,85 |
0,20 |
-1,34 |
-1,22 |
0,95 |
1,83 |
[1; 2] |
|
11 |
1,60 |
2,40 |
2,80 |
3,80 |
4,40 |
0,62 |
0,32 |
0,17 |
0,19 |
0,22 |
[1; 5] |
|
12 |
1,30 |
1,70 |
1,90 |
2,40 |
2,70 |
0,87 |
-0,72 |
-1,34 |
0,37 |
1,38 |
[1; 3] |
( |
13 |
2,20 |
3,40 |
4,00 |
5,50 |
6,40 |
-0,06 |
-0,04 |
-0,03 |
-0,02 |
-0,01 |
[1,2; 7,2] |
|
14 |
0,70 |
1,50 |
1,90 |
2,90 |
3,50 |
9,28 |
7,75 |
7,55 |
7,41 |
7,40 |
[0,1; 4,1] |
|
15 |
0,25 |
0,75 |
1,25 |
1,75 |
2,25 |
0,16 |
0,24 |
0,20 |
0,13 |
0,07 |
[0; 2,5] |
|
16 |
6,50 |
8,50 |
9,50 |
12,00 |
13,50 |
1,53 |
5,37 |
6,48 |
3,55 |
4,48 |
[5; 10] |
|
17 |
-0,95 |
0,45 |
1,15 |
2,90 |
3,95 |
-0,59 |
0,56 |
2,04 |
12,36 |
28,47 |
[-2; 5] |
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
ЗАДАНИЕ
По имеющемуся набору экспериментальных данных о зависимости F(x) построить методом наименьших квадратов аппроксимирующие зависимости G(x) и H(x) в виде G(x)=A+Bx, H(x)=CeDx и сравнить их по критерию «средний квадрат отклонения». Пример выполнения работы в EXCEL приведен ниже. Исходные данные выбираются из таблицы по номеру варианта.
Для защиты лабораторной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:
-аналитическую запись полученных функций G(x) и H(x);
-полученные для обеих функций значения среднего квадрата отклонения;
-ответы на контрольные вопросы.
ПРИМЕР EXCEL-ТАБЛИЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Исходные данные |
|
Линейная зависимость |
|
Экспоненциальная зависимость |
|
Квадраты отклонений |
||||||
X |
F |
|
X*X |
X*F |
G |
|
lnF |
X*lnF |
H |
|
для G |
для H |
1,0000 |
2,4962 |
|
1,0000 |
2,4962 |
2,5872 |
|
0,9148 |
0,9148 |
2,8915 |
|
0,0083 |
0,1562 |
1,0000 |
2,7777 |
|
1,0000 |
2,7777 |
2,5872 |
|
1,0216 |
1,0216 |
2,8915 |
|
0,0363 |
0,0129 |
1,0000 |
3,2303 |
|
1,0000 |
3,2303 |
2,5872 |
|
1,1726 |
1,1726 |
2,8915 |
|
0,4136 |
0,1148 |
1,4000 |
3,6873 |
|
1,9600 |
5,1622 |
3,1284 |
|
1,3049 |
1,8269 |
3,2253 |
|
0,3124 |
0,2135 |
1,8000 |
3,1263 |
|
3,2400 |
5,6273 |
3,6696 |
|
1,1398 |
2,0517 |
3,5975 |
|
0,2952 |
0,2221 |
1,8000 |
4,0496 |
|
3,2400 |
7,2894 |
3,6696 |
|
1,3986 |
2,5175 |
3,5975 |
|
0,1445 |
0,2044 |
2,2000 |
4,0617 |
|
4,8400 |
8,9356 |
4,2107 |
|
1,4016 |
3,0835 |
4,0128 |
|
0,0222 |
0,0024 |
2,2000 |
4,1870 |
|
4,8400 |
9,2114 |
4,2107 |
|
1,4320 |
3,1504 |
4,0128 |
|
0,0006 |
0,0303 |
2,6000 |
4,5722 |
|
6,7600 |
11,8876 |
4,7519 |
|
1,5200 |
3,9520 |
4,4760 |
|
0,0323 |
0,0093 |
3,0000 |
4,6821 |
|
9,0000 |
14,0462 |
5,2931 |
|
1,5437 |
4,6312 |
4,9926 |
|
0,3733 |
0,0965 |
3,4000 |
5,0980 |
|
11,5600 |
17,3332 |
5,8342 |
|
1,6288 |
5,5381 |
5,5689 |
|
0,5420 |
0,2218 |
3,4000 |
5,2940 |
|
11,5600 |
17,9997 |
5,8342 |
|
1,6666 |
5,6664 |
5,5689 |
|
0,2918 |
0,0756 |
3,4000 |
5,3140 |
|
11,5600 |
18,0675 |
5,8342 |
|
1,6703 |
5,6792 |
5,5689 |
|
0,2707 |
0,0650 |
3,8000 |
6,8020 |
|
14,4400 |
25,8477 |
6,3754 |
|
1,9172 |
7,2854 |
6,2117 |
|
0,1820 |
0,3484 |
3,8000 |
5,9254 |
|
14,4400 |
22,5164 |
6,3754 |
|
1,7792 |
6,7611 |
6,2117 |
|
0,2025 |
0,0820 |
4,2000 |
7,1601 |
|
17,6400 |
30,0722 |
6,9166 |
|
1,9685 |
8,2678 |
6,9288 |
|
0,0593 |
0,0535 |
4,2000 |
7,3484 |
|
17,6400 |
30,8632 |
6,9166 |
|
1,9945 |
8,3768 |
6,9288 |
|
0,1864 |
0,1761 |
4,2000 |
6,9879 |
|
17,6400 |
29,3491 |
6,9166 |
|
1,9442 |
8,1655 |
6,9288 |
|
0,0051 |
0,0035 |
4,6000 |
7,4138 |
|
21,1600 |
34,1035 |
7,4578 |
|
2,0033 |
9,2154 |
7,7285 |
|
0,0019 |
0,0991 |
5,0000 |
8,9416 |
|
25,0000 |
44,7081 |
7,9989 |
|
2,1907 |
10,9536 |
8,6206 |
|
0,8887 |
0,1030 |
Xcp |
Fcp |
|
(X*X)cp |
(X*F)cp |
|
|
(lnF)cp |
(X*lnF)cp |
|
|
|
|
2,9000 |
5,1578 |
|
9,9760 |
17,0762 |
|
|
1,5807 |
5,0116 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
1,2343 |
1,3529 |
|
|
2,2005 |
0,2731 |
|
|
|
|
G(x) = A+Bx |
H(x) = C exp(Dx) |
|
|
Средний квадрат отклонения: 0,2135 |
Средний квадрат отклонения: 0,1145 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 1
X |
З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x) |
||||||||
Вар.1 |
Вар.2 |
Вар.3 |
Вар.4 |
Вар.5 |
Вар.6 |
Вар.7 |
Вар.8 |
Вар.9 |
|
1,00 |
1,0763 |
1,2517 |
1,3230 |
0,6277 |
1,8814 |
0,9359 |
2,0271 |
3,1520 |
3,8376 |
1,00 |
1,0958 |
2,4367 |
1,4282 |
1,8690 |
1,8362 |
1,9856 |
2,3484 |
2,4568 |
3,9836 |
1,00 |
1,1383 |
1,1782 |
1,2831 |
0,4060 |
1,8883 |
2,3470 |
2,2181 |
3,4022 |
3,8886 |
1,40 |
1,0164 |
1,3449 |
1,1846 |
1,3298 |
1,4621 |
1,9700 |
1,8576 |
3,7402 |
3,0142 |
1,80 |
0,8448 |
0,8970 |
1,0423 |
2,2396 |
1,2024 |
1,5461 |
1,2000 |
3,0803 |
2,2973 |
1,80 |
0,8451 |
2,2131 |
0,9386 |
2,0336 |
1,1520 |
2,7466 |
1,4444 |
4,0553 |
2,2882 |
2,20 |
0,7522 |
1,3838 |
0,8643 |
1,4532 |
1,2381 |
2,6644 |
0,8736 |
4,2548 |
1,6501 |
2,20 |
0,7373 |
2,9157 |
0,8048 |
2,8410 |
1,0669 |
2,1950 |
1,2159 |
3,0945 |
1,7271 |
2,60 |
0,7308 |
3,0485 |
0,6675 |
2,3196 |
0,7721 |
3,2191 |
0,9074 |
3,9021 |
1,3626 |
3,00 |
0,6000 |
2,9941 |
0,5978 |
3,7697 |
0,5254 |
4,5961 |
0,8578 |
5,3027 |
1,0164 |
3,40 |
0,4993 |
6,2228 |
0,5266 |
3,4957 |
0,4590 |
5,3854 |
0,4581 |
6,2270 |
0,7018 |
3,40 |
0,5338 |
4,2152 |
0,5803 |
4,0342 |
0,5279 |
5,3272 |
0,5526 |
5,2139 |
0,6705 |
3,40 |
0,5165 |
6,6556 |
0,4813 |
3,7366 |
0,7434 |
4,8497 |
0,5025 |
5,9395 |
0,7366 |
3,80 |
0,4420 |
6,2930 |
0,5195 |
4,5619 |
0,6277 |
4,7786 |
0,3066 |
6,4788 |
0,5702 |
3,80 |
0,4321 |
6,6981 |
0,5007 |
5,2506 |
0,6442 |
4,7873 |
0,3551 |
6,5435 |
0,5858 |
4,20 |
0,3882 |
9,4535 |
0,4187 |
5,7408 |
0,5844 |
6,5967 |
0,1355 |
7,2520 |
0,3684 |
4,20 |
0,4114 |
8,2133 |
0,4140 |
5,3274 |
0,5569 |
6,5855 |
0,4400 |
6,5925 |
0,4366 |
4,20 |
0,4066 |
8,4742 |
0,4621 |
5,6536 |
0,1952 |
6,7917 |
0,5134 |
6,7186 |
0,5113 |
4,60 |
0,3975 |
11,9610 |
0,2657 |
7,4624 |
0,3174 |
7,9354 |
0,2827 |
7,2521 |
0,2800 |
5,00 |
0,3139 |
15,6451 |
0,1904 |
8,9393 |
0,3803 |
9,8607 |
0,3911 |
9,5950 |
0,1901 |
X |
З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x) |
||||||||
Вар.10 |
Вар.11 |
Вар.12 |
Вар.13 |
Вар.14 |
Вар.15 |
Вар.16 |
Вар.17 |
Вар.18 |
|
-1,00 |
1,2188 |
7,4220 |
0,8739 |
5,2215 |
0,7932 |
2,7183 |
0,9169 |
2,3129 |
0,6040 |
-1,00 |
1,8744 |
7,2743 |
0,3451 |
5,2551 |
0,7023 |
2,7224 |
0,5457 |
2,2731 |
1,3795 |
0,10 |
2,5227 |
3,9034 |
0,2551 |
3,1721 |
0,6109 |
1,7278 |
0,4102 |
1,3882 |
0,5093 |
1,40 |
3,7513 |
1,9399 |
1,1792 |
1,8205 |
1,5195 |
1,4338 |
0,7612 |
0,8849 |
1,8638 |
1,80 |
3,2916 |
1,4080 |
2,7255 |
1,0110 |
1,1280 |
1,2160 |
2,6846 |
0,6750 |
2,8831 |
1,80 |
2,6521 |
1,4022 |
1,6945 |
1,4741 |
1,2064 |
0,8360 |
2,0052 |
0,9361 |
1,8943 |
1,90 |
3,7389 |
1,2177 |
1,7536 |
1,0859 |
2,0333 |
0,7749 |
2,0041 |
1,1275 |
3,0288 |
2,00 |
3,0509 |
1,2728 |
2,7337 |
1,1864 |
1,4756 |
0,6660 |
3,1356 |
0,7449 |
2,9470 |
2,00 |
3,7143 |
1,4258 |
2,1889 |
1,2272 |
1,9645 |
0,6387 |
2,4937 |
1,0536 |
3,1886 |
2,20 |
4,0200 |
1,3204 |
2,4792 |
1,0077 |
2,3354 |
0,7531 |
2,4977 |
1,0592 |
3,5239 |
2,40 |
3,7461 |
1,1501 |
2,5267 |
1,1415 |
3,0000 |
0,5561 |
3,1217 |
0,5687 |
3,8096 |
2,40 |
4,8381 |
1,0199 |
2,4428 |
1,1088 |
2,8193 |
0,5975 |
3,3006 |
0,7909 |
2,9615 |
3,00 |
5,0505 |
0,4076 |
4,3727 |
0,4204 |
2,9146 |
0,8344 |
4,9770 |
0,3891 |
4,4011 |
3,00 |
4,6304 |
0,4654 |
4,3626 |
0,7858 |
3,2616 |
0,6677 |
5,1370 |
0,6601 |
4,6679 |
3,30 |
5,9083 |
0,6565 |
4,7978 |
0,5386 |
3,3511 |
0,4719 |
7,2505 |
0,2628 |
4,3614 |
3,60 |
5,8075 |
0,3249 |
5,6142 |
0,6977 |
4,0366 |
0,5039 |
9,3677 |
0,3877 |
5,2419 |
3,60 |
5,8265 |
0,5175 |
5,6892 |
0,7369 |
3,7288 |
0,4352 |
8,9492 |
0,6351 |
5,0457 |
4,00 |
5,8601 |
0,1873 |
5,6279 |
0,1482 |
4,6823 |
0,1552 |
12,6004 |
0,5884 |
5,3645 |
4,00 |
7,3884 |
0,3377 |
5,3762 |
0,4855 |
5,5250 |
0,1569 |
12,9322 |
0,3862 |
6,3406 |
4,00 |
6,1544 |
0,2686 |
6,4613 |
0,2665 |
4,8807 |
0,5988 |
12,2746 |
0,3369 |
5,7087 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 2
X |
З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x) |
||||||||
Вар.1 |
Вар.2 |
Вар.3 |
Вар.4 |
Вар.5 |
Вар.6 |
Вар.7 |
Вар.8 |
Вар.9 |
|
-2,00 |
10,5443 |
0,9998 |
10,2760 |
2,3529 |
1,3845 |
8,4827 |
4,2413 |
13,6799 |
1,9314 |
-2,00 |
10,4500 |
0,8397 |
12,1079 |
2,1345 |
1,5908 |
8,7857 |
3,9753 |
14,1068 |
4,1296 |
-2,00 |
10,5111 |
1,3915 |
11,4337 |
1,1536 |
1,8461 |
8,5152 |
2,7297 |
14,4267 |
4,1861 |
-1,50 |
8,5483 |
3,1054 |
8,9798 |
3,8221 |
1,9248 |
6,1833 |
2,4454 |
10,8812 |
4,1504 |
-0,50 |
4,7797 |
2,7413 |
6,4898 |
2,7490 |
2,5963 |
4,1893 |
3,2621 |
7,7228 |
6,9814 |
-0,50 |
5,5932 |
3,7610 |
7,0710 |
4,7736 |
2,5332 |
3,6953 |
4,7954 |
8,3648 |
6,7332 |
0,00 |
4,0736 |
5,2426 |
5,2753 |
4,9639 |
2,8187 |
3,3739 |
4,5197 |
6,3934 |
5,6020 |
0,50 |
2,8870 |
5,6609 |
5,0244 |
5,3861 |
2,9823 |
2,6031 |
8,5462 |
4,8030 |
10,7851 |
0,50 |
2,8359 |
6,2277 |
4,9805 |
4,0506 |
3,3586 |
2,3200 |
7,2968 |
5,0912 |
7,1530 |
1,60 |
1,7123 |
7,7175 |
1,3983 |
7,2094 |
3,8109 |
1,5975 |
15,6168 |
3,2186 |
19,9620 |
1,60 |
2,1779 |
8,5510 |
1,8123 |
9,5566 |
3,8605 |
1,0484 |
12,4483 |
3,0739 |
20,1035 |
2,00 |
1,2629 |
10,0484 |
2,5399 |
11,1381 |
4,6513 |
1,0105 |
17,4373 |
3,3034 |
24,2122 |
2,00 |
1,9565 |
11,9251 |
2,8363 |
9,8385 |
4,1702 |
1,1116 |
15,6178 |
2,9417 |
24,5415 |
2,80 |
0,6632 |
16,3300 |
3,0883 |
13,1075 |
5,7011 |
1,0241 |
26,4145 |
1,8160 |
37,5915 |
2,80 |
0,9798 |
14,8465 |
3,1230 |
13,8199 |
5,6702 |
0,9052 |
26,6948 |
1,7540 |
38,8683 |
2,90 |
0,8659 |
17,3987 |
2,4381 |
14,3407 |
5,3830 |
0,4109 |
28,4724 |
2,8899 |
40,3504 |
3,00 |
0,5926 |
17,1442 |
1,7274 |
15,7204 |
5,9743 |
0,4929 |
27,3341 |
2,8133 |
40,4670 |
3,00 |
0,5223 |
18,8498 |
2,1305 |
15,6550 |
5,7096 |
0,3712 |
28,9271 |
1,9885 |
40,1577 |
3,20 |
1,3035 |
18,6170 |
0,2727 |
16,8506 |
5,9244 |
0,6636 |
31,1035 |
1,3586 |
49,6981 |
3,20 |
0,3468 |
19,5010 |
0,9072 |
15,2880 |
6,1989 |
0,7557 |
31,9375 |
1,6981 |
48,0468 |
X |
З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x) |
||||||||
Вар.10 |
Вар.11 |
Вар.12 |
Вар.13 |
Вар.14 |
Вар.15 |
Вар.16 |
Вар.17 |
Вар.18 |
|
-1,80 |
0,7954 |
4,2143 |
2,4855 |
8,4839 |
1,6890 |
7,7193 |
2,9686 |
8,3003 |
2,3218 |
-1,80 |
0,4751 |
4,1894 |
1,0806 |
8,4528 |
1,9473 |
7,8879 |
2,8571 |
7,7253 |
2,5880 |
-1,80 |
0,7824 |
4,3386 |
0,2105 |
8,4806 |
1,6229 |
8,0484 |
2,2768 |
7,9781 |
1,6733 |
-1,00 |
1,0061 |
3,3704 |
3,2685 |
5,1409 |
1,4547 |
6,2831 |
3,0931 |
5,2488 |
3,1429 |
-0,80 |
1,9167 |
3,1231 |
1,8045 |
5,2923 |
0,7821 |
6,1493 |
3,3069 |
4,4959 |
4,0075 |
-0,70 |
1,8787 |
2,9799 |
1,3907 |
4,8455 |
0,7107 |
5,6850 |
3,6335 |
3,6497 |
3,5178 |
-0,20 |
1,7500 |
2,6343 |
2,2458 |
3,5248 |
4,3902 |
5,1625 |
4,0251 |
2,5755 |
3,2655 |
-0,20 |
1,6736 |
2,6391 |
3,6228 |
3,4686 |
3,0041 |
4,7244 |
4,6314 |
3,5429 |
4,8048 |
0,00 |
1,5901 |
2,5917 |
3,0375 |
3,5409 |
5,3968 |
4,6527 |
4,4182 |
3,1810 |
4,0235 |
0,50 |
2,4911 |
2,2399 |
5,1021 |
2,6086 |
3,1120 |
3,8518 |
4,8345 |
2,4421 |
4,4035 |
1,00 |
2,9704 |
1,6891 |
7,8280 |
2,0339 |
4,2047 |
2,9507 |
6,3153 |
1,2084 |
6,5702 |
1,00 |
2,6361 |
1,9321 |
6,4398 |
1,9889 |
5,9370 |
3,4830 |
6,5185 |
1,2026 |
5,8464 |
1,30 |
3,6619 |
1,6717 |
9,0353 |
2,1569 |
4,7632 |
3,4173 |
6,6729 |
1,2253 |
5,9945 |
2,00 |
4,2837 |
1,2307 |
10,8478 |
0,8357 |
9,6232 |
2,5331 |
8,4478 |
0,4843 |
8,0669 |
2,00 |
4,8137 |
1,4651 |
11,4076 |
1,1899 |
5,0399 |
2,6511 |
8,0921 |
0,8701 |
7,6468 |
2,20 |
5,0891 |
1,1702 |
11,8879 |
1,3054 |
7,4231 |
2,4445 |
8,4211 |
0,9162 |
9,0293 |
2,30 |
4,8418 |
1,2996 |
13,2842 |
1,3476 |
5,9161 |
2,1828 |
8,9484 |
1,0758 |
8,6561 |
2,30 |
5,2725 |
1,3972 |
15,4108 |
0,6554 |
6,6441 |
2,2021 |
9,2724 |
0,8471 |
9,2131 |
2,70 |
5,5842 |
1,2213 |
18,2798 |
0,6961 |
8,4778 |
1,6939 |
9,8335 |
0,4345 |
9,2937 |
2,70 |
5,7598 |
0,9472 |
16,4949 |
1,3209 |
11,6876 |
1,6293 |
10,1606 |
0,2627 |
9,2146 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
В чем отличие интерполяции каноническим полиномом от интерполяции полиномом Лагранжа?
Составьте блок-схему алгоритма интерполяции полиномом Ньютона.
Выберите правильный ответ на вопрос: «Что обеспечивается при интерполяции сплайнами?»
а) равенство значений производных;
б) равенство значений в узлах и непрерывность производных;
в) минимум максимального отклонения.
Для решения каких задач используется метод прогонки?
В каких случаях целесообразно использовать для аппроксимации метод наименьших квадратов?
Что минимизируется в методе наименьших квадратов?
Зачем в методе наименьших квадратов величина берется в квадрате?
От чего зависит выбор базисных функций в методе наименьших квадратов?
Сформулируйте основные свойства матрицы Грама.
Какие базисные функции используются при линейной аппроксимации МНК?
Как получены формулы для коэффициентов C и D при экспоненциальной аппроксимации?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ЗАДАНИЕ
Требуется
вычислить интеграл вида
,
где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на [a,b];
a,b – нижний и верхний пределы интегрирования.
Требуется вычислить значения интеграла Sл,Sп,Sс соответственно методами левых, правых и средних прямоугольников, а также Sт1,Sт2 методом трапеций для двух разных разбиений n1=10, n2=20, по которым определить уточнение Sр по Ричардсону. Для визуальной оценки точности вычислений требуется также вычислить точное значение интеграла J, для чего в качестве подынтегральных функций f(x) в приводимой ниже таблице вариантов выбраны такие функции, для которых известны первообразные функции F(x) в аналитическом виде (они также даны в таблице вариантов). Значение J вычисляется по формуле:J=F(b)-F(a)
Для защиты лабораторной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:
1) значения интеграла Sл,Sп,Sс, вычисленные методами прямоугольников для n=20;
2) значения интеграла Sт1,Sт2, вычисленные методом трапеций для n1=10 и n2=20;
3) уточнение по Ричардсону ( Sр );
4) точное значение определенного интеграла ( J ).
5) ошибки значений Sл,Sп,Sс,Sт1,Sт2,Sр по сравнению с J.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Ниже приведен пример электронной таблицы решения поставленной задачи
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
||||||||||||||
1 |
Вычисление определенного интеграла от функции f = 1/(sinx cosx) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
Промежуток интегрирования: |
a |
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
0,2 |
|
1,4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
1. Методы прямоугольников |
|
2.Метод трапеций |
||||||||||||||||||||||
5 |
N= |
20 |
|
h= |
0,06 |
|
N1= |
10 |
|
N2= |
20 |
||||||||||||||
6 |
левые и правые |
|
средние |
|
h1= |
0,12 |
|
h2= |
0,06 |
||||||||||||||||
7 |
x |
f(x) |
|
x |
f(x) |
|
x |
f(x) |
|
x |
f(x) |
||||||||||||||
8 |
0,20 |
5,13586 |
|
0,23 |
4,50503 |
|
0,20 |
5,13586 |
|
0,20 |
5,13586 |
||||||||||||||
9 |
0,26 |
4,02512 |
|
0,29 |
3,64948 |
|
0,32 |
3,34899 |
|
0,26 |
4,02512 |
||||||||||||||
10 |
0,32 |
3,34899 |
|
0,35 |
3,10454 |
|
0,44 |
2,59491 |
|
0,32 |
3,34899 |
||||||||||||||
11 |
0,38 |
2,90309 |
|
0,41 |
2,73543 |
|
0,56 |
2,22197 |
|
0,38 |
2,90309 |
||||||||||||||
12 |
0,44 |
2,59491 |
|
0,47 |
2,47660 |
|
0,68 |
2,04527 |
|
0,44 |
2,59491 |
||||||||||||||
13 |
0,50 |
2,37679 |
|
0,53 |
2,29264 |
|
0,80 |
2,00085 |
|
0,50 |
2,37679 |
||||||||||||||
14 |
0,56 |
2,22197 |
|
0,59 |
2,16308 |
|
0,92 |
2,07473 |
|
0,56 |
2,22197 |
||||||||||||||
15 |
0,62 |
2,11465 |
|
0,65 |
2,07564 |
|
1,04 |
2,29060 |
|
0,62 |
2,11465 |
||||||||||||||
16 |
0,68 |
2,04527 |
|
0,71 |
2,02296 |
|
1,16 |
2,73138 |
|
0,68 |
2,04527 |
||||||||||||||
17 |
0,74 |
2,00827 |
|
0,77 |
2,00095 |
|
1,28 |
3,64063 |
|
0,74 |
2,00827 |
||||||||||||||
18 |
0,80 |
2,00085 |
|
0,83 |
2,00798 |
|
1,40 |
5,97036 |
|
0,80 |
2,00085 |
||||||||||||||
19 |
0,86 |
2,02247 |
|
0,89 |
2,04458 |
|
|
|
|
0,86 |
2,02247 |
||||||||||||||
20 |
0,92 |
2,07473 |
|
0,95 |
2,11349 |
|
|
|
|
0,92 |
2,07473 |
||||||||||||||
21 |
0,98 |
2,16167 |
|
1,01 |
2,22027 |
|
|
|
|
0,98 |
2,16167 |
||||||||||||||
22 |
1,04 |
2,29060 |
|
1,07 |
2,37437 |
|
|
|
|
1,04 |
2,29060 |
||||||||||||||
23 |
1,10 |
2,47373 |
|
1,13 |
2,59150 |
|
|
|
|
1,10 |
2,47373 |
||||||||||||||
24 |
1,16 |
2,73138 |
|
1,19 |
2,89824 |
|
|
|
|
1,16 |
2,73138 |
||||||||||||||
25 |
1,22 |
3,09869 |
|
1,25 |
3,34184 |
|
|
|
|
1,22 |
3,09869 |
||||||||||||||
26 |
1,28 |
3,64063 |
|
1,31 |
4,01396 |
|
|
|
|
1,28 |
3,64063 |
||||||||||||||
27 |
1,34 |
4,49060 |
|
1,37 |
5,11660 |
|
|
|
|
1,34 |
4,49060 |
||||||||||||||
28 |
1,40 |
5,97036 |
|
|
|
|
|
|
|
1,40 |
5,97036 |
||||||||||||||
Продолжение электронной таблицы
29 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
|
30 |
J= |
3,35347 |
ошибка метода |
|
|
|
|
|
|
|
||
31 |
Sл= |
3,34562 |
Rл= |
0,007856 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
Sп= |
3,39569 |
Rп= |
0,042214 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
Sc = |
3,34495 |
Rc= |
0,008521 |
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
Sт1= |
3,42029 |
Rт1= |
0,066822 |
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
Sт2= |
3,37065 |
Rт2= |
0,017179 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
Sр = |
3,35410 |
Rр= |
0,000632 |
|
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Чему равно значение интеграла
в аналитическом виде?В чем состоит суть методов численного интегрирования?
На что и как влияет количество разбиений при численном интегрировании?
Можно ли увеличивая количество разбиений промежутка интегрирования бесконечно повышать точность интегрирования?
Как определяется значение частичного интеграла в методах прямоугольников?
В чем отличие методов левых, средних и правых прямоугольников?
Какой из методов прямоугольников имеет меньшую погрешность? Почему?
Показать геометрическую интерпретацию метода трапеций.
Какими свойствами должна обладать подынтегральная функция на отрезке интегрирования?
Какой из известных Вам методов интегрирования дает наиболее точный результат?
Выберите правильный ответ на вопрос: «Чем отличаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона?»
а) числом разбиений промежутка интегрирования;
б) поpядком аппроксимирующего полинома;
в) шагом интерполяции.
Учитывая формулы оценки погрешностей для метода средних прямоугольников и метода трапеций объяснить:
а) Почему величина Sc получилась в 2 раза меньше, чем величина Sт2 ?
б) Почему величина Sт2 получилась в 4 раза меньше, чем величина Sт1 ?
в) Почему уточнение по Ричардсону метода трапеций для интеграла от полинома второй степени даст результат с нулевой ошибкой?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 1
№ |
Интеграл и его первообразная |
[a, b] |
|
№ |
Интеграл и его первообразная |
[a, b] |
1 |
|
[0, 1.2] |
|
10 |
|
[-0.5, 1.0] |
2 |
|
[-2, 2] |
|
11 |
|
[0, 4.5] |
3 |
|
[0,3] |
|
12 |
|
[0, 10] |
4 |
|
[-1, 1.4] |
|
13 |
|
[0, 2] |
5 |
|
[-3, 3] |
|
14 |
|
[0.5, 3] |
6 |
|
[0, 10] |
|
15 |
|
[2, 5] |
7 |
|
[-1, 1.5] |
|
16 |
|
[-1,5 1,5] |
8 |
|
[0, 4] |
|
17 |
|
[1, 3] |
9 |
|
[2, 12] |
|
18 |
|
[5, 10] |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
Подгруппа 2
№ |
Интеграл и его первообразная |
[a, b] |
|
№ |
Интеграл и его первообразная |
[a, b] |
1 |
|
[0.5, 2.5] |
|
10 |
|
[0.5, 2.5] |
2 |
|
[0, 5] |
|
11 |
|
[-2, 2] |
3 |
|
[1, 9] |
|
12 |
|
[2.5, 5.5] |
4 |
|
[0.2, 1.5] |
|
13 |
|
[1, 3] |
5 |
|
[-3, -1] |
|
14 |
|
[0, 3] |
6 |
|
[-10, 0] |
|
15 |
|
[1.2, 5.2] |
7 |
|
[1, 4] |
|
16 |
|
[0.1, 3.1] |
8 |
|
[-5, 0] |
|
17 |
|
[0, 3] |
9 |
|
[1.5, 5.5] |
|
18 |
|
[-1, 7] |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ЗАДАНИЕ
Дано
дифференциальное уравнение
.
Необходимо найти его решение методами
Эйлера, усовершенствованным Эйлера,
исправленнім
Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка
при заданных начальных условиях y(x0)=y0
на заданном промежутке интегрирования
[xНАЧ,хКОН]
с шагом, вычисленным по формуле:
h=(xКОН-хНАЧ)/20.
Исходное уравнение, начальные условия
и промежуток интегрирования выбираются
из таблицы индивидуальных вариантов
по номеру подгруппы и номеру студента
по журналу подгруппы.
Для обеспечения возможности оценки точности методов в таблице для каждого дифференциального уравнения приведено также его точное, аналитическое решение y=y(x,C), где C – произвольная константа. Требуется определить значение C, при котором это решение удовлетворяет начальным условиям y(x0)=y0, и протабулировать функцию y(x,C) на промежутке [xНАЧ,хКОН] с шагом h.
В качестве результата требуется сформировать таблицу, содержащую следующие графы:
значения аргумента х;
решение, полученное методом Эйлера;
решение, полученное усовершенствованным методом Эйлера;
решение, полученное исправленным методом Эйлера;
решение, полученное методом Рунге-Кутта 4-го порядка;
аналитическое решение уравнения y(x,C);
ошибка метода Рунге-Кутта по сравнению с точным решением.
Построить совместные графики «точное решение - усовершенствованный.метод Эйлера» и «точное решение – метод Рунге-Кутта».
Для защиты лабораторной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи.
В письменный отчет включить ответы на контрольные вопросы.
ПРИМЕР ЭЛЕКТРОННОЙ ТАБЛИЦЫ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
1 |
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
|
|
||||||||
2 |
Начальные условия: |
Хо= |
0 |
Yo= |
1 |
Уравнение: y'=(x+y)^2 |
|||||
3 |
Промеж.интегрирования: |
Хн= |
0 |
Хк= |
0,77 |
Точное решение:y=tg(x+C)+x |
|||||
4 |
Шаг интегрирования: |
Н= |
0,0385 |
|
|
C= |
0,78539 |
|
|
||
5 |
X |
Эйлер |
Эйл.ус. |
Эйл.исп |
К 0 |
К1 |
К2 |
К3 |
РК |
Точное |
Ош.РК |
6 |
0,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
|
|
|
|
1,0000 |
1,0000 |
0,000000 |
7 |
0,0385 |
1,0385 |
1,0416 |
1,0415 |
0,0385 |
0,0415 |
0,0416 |
0,0449 |
1,0416 |
1,0416 |
0,000000 |
8 |
0,0770 |
1,0832 |
1,0901 |
1,0900 |
0,0449 |
0,0485 |
0,0486 |
0,0525 |
1,0902 |
1,0902 |
0,000000 |
9 |
0,1155 |
1,1350 |
1,1468 |
1,1466 |
0,0525 |
0,0566 |
0,0568 |
0,0614 |
1,1470 |
1,1470 |
0,000000 |
10 |
0,1540 |
1,1952 |
1,2132 |
1,2128 |
0,0614 |
0,0663 |
0,0666 |
0,0720 |
1,2135 |
1,2135 |
0,000000 |
11 |
0,1925 |
1,2653 |
1,2912 |
1,2907 |
0,0720 |
0,0779 |
0,0783 |
0,0848 |
1,2917 |
1,2917 |
0,000000 |
12 |
0,2310 |
1,3471 |
1,3833 |
1,3826 |
0,0848 |
0,0920 |
0,0924 |
0,1004 |
1,3841 |
1,3841 |
0,000000 |
13 |
0,2695 |
1,4430 |
1,4926 |
1,4916 |
0,1004 |
0,1092 |
0,1098 |
0,1197 |
1,4938 |
1,4938 |
0,000000 |
14 |
0,3080 |
1,5559 |
1,6233 |
1,6220 |
0,1197 |
0,1307 |
0,1315 |
0,1439 |
1,6251 |
1,6251 |
0,000000 |
15 |
0,3465 |
1,6896 |
1,7811 |
1,7792 |
0,1439 |
0,1578 |
0,1588 |
0,1747 |
1,7837 |
1,7837 |
0,000000 |
16 |
0,3850 |
1,8492 |
1,9737 |
1,9710 |
0,1747 |
0,1926 |
0,1942 |
0,2150 |
1,9776 |
1,9776 |
0,000001 |
17 |
0,4235 |
2,0414 |
2,2121 |
2,2082 |
0,2149 |
0,2386 |
0,2408 |
0,2687 |
2,2180 |
2,2180 |
0,000002 |
18 |
0,4620 |
2,2753 |
2,5123 |
2,5066 |
0,2686 |
0,3008 |
0,3042 |
0,3429 |
2,5216 |
2,5216 |
0,000004 |
19 |
0,5005 |
2,5638 |
2,8991 |
2,8904 |
0,3427 |
0,3879 |
0,3935 |
0,4491 |
2,9140 |
2,9140 |
0,000009 |
20 |
0,5390 |
2,9253 |
3,4119 |
3,3982 |
0,4489 |
0,5152 |
0,5246 |
0,6091 |
3,4370 |
3,4370 |
0,000022 |
21 |
0,5775 |
3,3873 |
4,1179 |
4,0952 |
0,6086 |
0,7117 |
0,7289 |
0,8662 |
4,1630 |
4,1630 |
0,000056 |
22 |
0,6160 |
3,9926 |
5,1423 |
5,1014 |
0,8652 |
1,0380 |
1,0728 |
1,3184 |
5,2305 |
5,2307 |
0,000169 |
23 |
0,6545 |
4,8102 |
6,7438 |
6,6616 |
1,3160 |
1,6385 |
1,7205 |
2,2270 |
6,9407 |
6,9413 |
0,000640 |
24 |
0,6930 |
5,9600 |
9,5508 |
9,3560 |
2,2210 |
2,9308 |
3,1741 |
4,4971 |
10,0953 |
10,0989 |
0,003570 |
25 |
0,7315 |
7,6641 |
15,5196 |
14,9112 |
4,4809 |
6,5547 |
7,6378 |
13,1264 |
17,7607 |
17,8040 |
0,043299 |
26 |
0,7700 |
10,3778 |
34,0784 |
30,8898 |
13,1656 |
24,2443 |
36,1292 |
115,0267 |
59,2506 |
64,1677 |
4,917050 |
|
|
