4.4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.

1. Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и при этом . Тогда внутри существует хотя бы одна точка , в которой .

2. Теорема Лагранжа. Пусть непрерывна на и дифференцируема на . Тогда внутри найдётся хотя бы одна точка , такая, что:

. (4.18)

3. Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и в любой точке . Тогда внутри найдётся хотя бы одна точка , такая, что

. (4.19)

4. Правило Лопиталя. (раскрытие неопределённостей типа или ). Пусть выполняются следующие условия:

1) Функции и дифференцируемы в некоторой окрестности , , точки , за исключением, быть может, самой точки ;

2) для любого ;

3) При обе функции и бесконечно малые, или же обе бесконечно большие, т.е. частное при представляет неопределённость типа или ;

4) Существует предел отношения производных .

Тогда (4.20)

Это же правило применимо и в случаях, когда , но при этом предполагается, что и дифференцируемы, а , соответственно, в правой (левой) полуокрестности , либо на некотором интервале , или на .

Замечания:

1) Если при указанных условиях предел отношения производных не существует, то это ещё не значит, что предела отношения самих функций тоже не существует.

2) Если отношение при снова даёт неопределённость типа или , а и удовлетворяют всем требованиям, сформулированным выше для и , то можно повторно применить правило Лопиталя, но уже с использованием отношения вторых производных и так далее.

Пример 4.9. Вычислить (неопределённость типа ).

.

Пример 4.10. Вычислить (неопределённость типа ).

. Этот предел вычисляем снова по правилу Лопиталя: .

Вычисление пределов с неопределённостями, символически обозначаемыми ; ; ; ; , сводится с помощью различных преобразований к неопределенностям типа или .

Пример 4.11. (неопределённость типа ).

.

Пример 4.12. (неопределённость типа ). Поскольку , то , так как экспоненциальная функция непрерывна; (см. предыдущий пример), следовательно искомый предел равен .

Пример 4.13. (неопределённость вида ).

Заметим, что , и кроме того

поэтому искомый предел равен .

Глава 5 исследование поведения функций.

5.1. Возрастание и убывание функций.

Теорема. (необходимые условия возрастания (убывания) функции).

Если функция , дифференцируемая на интервале , возрастает (убывает) на , то для .

Теорема. (достаточные условия возрастания (убывания) функции).

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причём для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Пример 5.1. . Эта функция дифференцируема на всей числовой прямой, . Исследуя знак убеждаемся, что для или и для . Следовательно возрастает на множестве и убывает на интервале .

Пример 5.2. . Эта функция непрерывна и дифференцируема всюду кроме точки , в которой она не определена.

Поскольку для , то убывает на , а также на . Заметим, что утверждать, будто убывает всюду в своей области определения было бы ошибкой ( см. график этой функции в разделе 1.2 ).