1 .2. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие, заданные аналитически, функции.

1. Константа (т.е. постоянная) : , - некоторое число.

Её область определения – вся числовая ось.

2. Степенная функция : - некоторое число.

Г рафик этой функции и её область определения зависят от числа . Приведём лишь некоторые характерные графики при различных .

- целое, нечетное; - целое, четное; ;

; ; ;

, - целое, чётное; , - целое, нечётное;

3. Показательная функция:

4 . Логарифмическая функция:

5. Тригонометрические функции:

, период обеих функций равен ;

, область определения - вся числовая ось за исключением точек

, период равен ;

, область определения – вся числовая ось за исключением точек

, период равен ;

6 . Обратные тригонометрические функции:

Определение. Пусть переменная является функцией аргумента , который, в свою очередь, зависит от переменной . Тогда переменная является функцией , обозначается и называется функцией от функции или сложной функцией. При этом её область определения содержит лишь те значения , для которых соответствующие значения определены и входят в область определения функции

Пример 1.7. Пусть , , тогда - сложная функция , область определения которой находится из условия : , т.е. , т.е. представляет собой множество интервалов:

,

Сложную функцию можно сконструировать несколькими операциями взятия функции от функции.

Пример 1.8. Пусть , , , ,

, тогда получается сложная функция :

.

Определение. Элементарной функцией называется такая функция, которая может быть задана формулой , содержащей только одно аналитическое выражение, составленное из основных элементарных функций с помощью конечного числа операции сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Примером элементарной функции может служить:

Глава 2 предел функции

2.1. Предел функции, односторонний предел. Предел последовательности.

Определение. Число называется пределом функции в точке (или пределом при ), если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки;

2) для любого, сколько угодно малого, числа существует такое, зависящее от , число , что для всех , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство или, что в силу свойств модуля, то же самое, для всех , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство: .

При этом используется обозначение:

или при (2.1)

Ф акту существования предела функции (2.1) можно дать следующую графическую интерпретацию. Какой бы малой ни была  окрестность точки на оси ординат, всегда найдётся такая  окрестность точки на оси абсцисс, что для всех , попавших в нее (за исключением, быть может, самой точки ) точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис.2.1).

Чем меньше ширина этой полосы, тем, вообще говоря, уже следует брать интервал .

Важно подчеркнуть, что предел функции в точке и её значение в этой точке – вещи разные и, более того, для существования предела в точке совсем не обязательно, чтобы функция вообще была в ней определена.

Пример 2.1. Проиллюстрируем сказанное на примере трёх функций:

; ;

Они отличаются друг от друга только в одной точке , причём определена для всех кроме , а и определены на всей числовой оси, но при этом , . Тем не менее, как видно из графиков этих функций, все они в точке имеют один и тот же предел:

при том, что ;

;  не существует.

Определение. Пусть функция определена на некотором интервале , где . Число называется пределом функции при слева, если для любого, сколь угодно малого, числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство . При этом используется обозначение или :

(2.2)

Определение. Пусть определена на интервале .

Ч исло называется пределом при справа, если для любого, сколь угодно малого, существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется . При этом используется обозначение или :

(2.3)

Предел справа и слева называются односторонними пределами.

Пример 2.2. , ; , при этом  не существует.

Необходимо отметить, что если в точке пределы справа и слева существуют и равны между собой, то тогда в точке существует предел , причем

(2.4)

Верно и обратное утверждение.

Введём понятие предела при .

Пусть  область определения функции .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого, найдётся такое, зависящее от , число , что для всех , удовлетворяющих условиям: , , выполняется неравенство . При этом используется обозначение:

или при (2.5)

С уществование предела подобного рода можно проиллюстрировать следующим образом.

К

акой бы малой ни была  окрестность точки на оси ординат, найдётся такое большое число , что для всех из интервала точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и .

Чем уже эта полоса, тем, вообще говоря, больше следует брать число .

Совершенно аналогично определяется предел при :

(2.6)

с той лишь разницей, что неравенство должно выполнятся при условии , . В случае же, когда указанное неравенство выполняется при , пишут

(2.7)

Пример 2.3. ; ; , что нетрудно видеть, исходя из графической интерпретации понятия предела и графиков этих функций. Исходя из этого же, видно, что предел функции ни при , ни при не существует.

Рассмотрим важный частный случай функции – последовательность . Её область определения и, согласно общему определению предела функции при , можно ввести соответствующее понятие отдельно для последовательности.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого, существует такой зависящий от , номер что для всякого выполняется неравенство , или, что то же самое, .

Обозначается предел последовательности так:

(2.8)

Пример 2.4. ; ; .

На основании графической интерпретации понятия предела, а также на основании самого определения функции, согласно которому каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, можно сделать важный вывод о том, что если предел при , , (соответственно, предел последовательности при ) существует, то он единственный.