- •Содержание
- •Глава 1 понятие функции
- •1.1. Понятие функции, способы её задания. Последовательность
- •Различают три основных способа задания функции.
- •1 .2. Основные элементарные функции
- •Глава 2 предел функции
- •2.1. Предел функции, односторонний предел. Предел последовательности.
- •2.2. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функций. Ограниченная функция.
- •Свойство бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •2.3. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Глава 3 непрерывность функции
- •3.1. Непрерывность функции в точке. Разрывная функция. Классификация точек разрыва.
- •3.2. Теоремы о непрерывных функциях
- •3.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Глава 4 производная
- •4 .1. Понятие производной, её физический и геометрический смысл. Дифференциал функции.
- •4.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции.
- •4.3. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
- •4.4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.
- •Глава 5 исследование поведения функций.
- •5.1. Возрастание и убывание функций.
- •5.2. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •5.3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •5.4. Асимптоты графика функции. Общее исследование функций и построение графиков.
- •Глава 6 рекомендуемые задачи
- •6.1. Построение графиков функций без применения методов дифференциального исчисления
- •6.2. Задачи на вычисление предела последовательности
- •6.3. Задачи на вычисление предела функции
- •6.4. Исследование функции на непрерывность
- •6.5. Найти производные функций
- •6.6. Задачи на вычисление пределов функций с использованием правила Лопиталя
- •6.7. Исследование поведения функций с помощью производных
- •Глава 7 варианты расчетно-графических работ
- •7.1. Построить графики функций без применения методов дифференциального исчисления
- •7.2. Вычислить предел последовательности
- •7.3. Вычислить предел функции
- •7.4. Исследовать функцию на непрерывность
- •7.5. Найти производные функций
- •7.6. Вычислить предел функции с использованием правила Лопиталя
- •7.7. Исследовать поведение функции с помощью методов дифференциального исчисления
- •Литература
- •Для заметок
Глава 3 непрерывность функции
3.1. Непрерывность функции в точке. Разрывная функция. Классификация точек разрыва.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если:
1) определена в точке и в некоторой её окрестности.
2) Существует предел ;
3) Этот предел равен значению функции в точке :
(3.1)
Пример 3.1. Функция непрерывна в точке , поскольку и (т.е. выполняются условия непрерывности).
Пример 3.2. Эта функция не является непрерывной в точке , так как не выполняется третье условие в определении непрерывности.
Определение Функция называется непрерывной в точке справа (слева) если:
1) определена в точке и в некоторой её правой (левой) полуокрестности;
2 ) существует предел справа (слева );
3) (3.2)
Пример 3.3.
Функция в точке не является непрерывной, поскольку нарушено второе условие, однако в этой точке она непрерывна справа.
Определение Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой этой точки. Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, т.е. либо значение неопределено, либо не существует , либо этот предел не равен .
Определение Пусть точка разрыва функции . Если существуют конечные пределы справа и слева:
, , то называется точкой разрыва первого рода.
Заметим, что при этом значение либо не определено, либо не все три числа равны между собой.
Если точка разрыва первого рода и при этом , то называется точкой устранимого разрыва функции . Подчеркнём, что для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы:
(3.4)
Пример 3.4. Функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку , т.е. , .
Пример 3.5. Функция в точке имеет устранимый разрыв, поскольку значение неопределено и при этом . Если доопределить данную функцию в точке , приняв , получим непрерывную функцию.
Определение. Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода.
К ним относятся точки, в которых левый или правый пределы не существуют и, в частности, какой-либо из них равен (в последнем случае точка называется точкой бесконечного разрыва).
Пример 3.6. Функция в точке имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
П ример 3.7. Функция в точке не имеет ни правого, ни левого предела, поскольку при или она колеблется между значениями 1 и –1 (рис.3.2.).
Следовательно, данная функция в точке имеет разрыв второго рода.
3.2. Теоремы о непрерывных функциях
Теорема. Пусть функции и непрерывны в точке , тогда их сумма и произведение непрерывны в точке . Если, кроме того, , то их частное также непрерывно в этой точке.
Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке .
Эти две теоремы приводят к важному следствию: всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
Такое утверждение даёт возможность при вычислении предела элементарной функции при в случае, когда эта функция определена в точке , воспользоваться формулой
(3.5)
Пример 3.8. , поскольку функция непрерывна.
Пример 3.9. Вычислить (здесь имеет место неопределённость типа ).
Решение. и поскольку функция непрерывна при z > 0 и при , то . Вывод: при .