5. Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий

Теорема: вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: .

Доказательство: пусть в данном испытании число всех элементарных событий равно n. Событию А благоприятствуют k элементарных событий, а событию В – l элементарных событий. Так как А и В несовместимые события, то ни одно из всех n событий не может одновременно благоприятствовать и А и В. Следовательно, событию будет благоприятствовать элементарных события. По определению вероятности имеем: , , , и т.д.

Аналогично для любого числа слагаемых: , где .

Следствие: сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

, т.к. – достоверное событие, которое произошло.

Пример: в сумке 10 платков: 3 синих, 5 зеленых и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной платок, если вынимается один платок?

Вероятность вынуть синий , зеленый . Так как события несовместимы, то .

6. Теорема умножения вероятностей.

Определение 1. Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Пример: пусть в корзине находятся 2 зеленых и 2 красных платка. Пусть событие А – вынут зеленый платок. После испытания вынутый платок кладется обратно в корзину, перемешиваются платки и снова вынимается один. Событие B – вынут зеленый платок, и события А – независимые.

Если первый платок не кладется назад, а происходит выборка с меньшей вероятностью . Эти события становятся зависимыми.

Определение 2. Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. В описанном выше примере

Если А и В – независимые, то .

Теорема: вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: .

Доказательство: пусть из всех n элементарных событий k благоприятствуют А, и пусть из этих k событий l благоприятствуют B, а значит и АВ. Тогда .

Действительно, если А и В независимые события, то и формула произведения зависимых событий становится искомой формулой.

7. Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема: вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Доказательство: пусть из всего числа элементарных событий благоприятствуют и событию , т.е. их произведению. Отсюда событию благоприятствуют элементарных событий. Тогда .

8. Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из всех n попарно несовместимых событий , образующих полную группу событий. События будем называть гипотезами для события А. (hypotesis (гр) – основание, предположение). Тогда – есть формула полной вероятности.

Событии А может наступить только при условии наступления одного из событий , т.е. . На основании теоремы сложения и умножения вероятностей имеем:

Пример: на экзамен было заготовлено 50 задач: 20 графических и 30 расчетных. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решать 18 графических и 15 расчетных задач.

Вероятность получить задачу графическую (событие ) равно , расчетную . Если событие А означает, что задача решена, то , . Значит .