- •1. Аксиоматика 3
- •2. Множества 4
- •3. Аналитическая геометрия 14
- •4. Векторная алгебра 25
- •5. Матрицы и определители 30
- •Аксиоматика
- •Аксиоматический метод построения математики
- •Математический язык
- •Множества
- •Понятие множества
- •Пустое множество
- •Числовые множества
- •Подмножества
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Вычитание множеств
- •Аналитическая геометрия
- •Система координат на плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками на плоскости
- •Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
- •Полярные координаты
- •Угол между прямыми
- •Уравнение окружности
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •У равнение сферы
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора
- •Коллинеарные векторы
- •Операции над векторами
- •Угол между векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Координаты вектора
- •Разложение векторов
- •Действия над векторами, заданным координатами в пространстве
- •Матрицы и определители
- •Матрицы
- •Определители
- •Определители третьего порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения матрицы
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Функции
- •Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Обзор элементарных функций и их графиков
- •Пределы
- •Предел последовательности
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Производная
- •Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Применение производной для исследования функции
- •Неопределенный интеграл
- •Способы интегрирования
- •О пределенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия:
- •Признаки сходимости ряда:
- •Ряды по степени разности
- •Теория вероятностей
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрические вероятности
- •Алгебра событий
- •Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместимых событий
- •Формула полной вероятности
- •Теорема умножения вероятностей независимых событий:
- •Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретных случайных величин
- •Функция распределения случайной величины
- •Нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратичное отклонение (стандартное)
- •Системы двух случайных величин и их числовые характеристики
- •Литература
Ряды по степени разности
Степенным рядом называется также функциональный ряд вида . Интервалом сходимости такого ряда является с центром в точке .
Если функция является суммой степенного ряда, то говорят, что функция разлагается в степенной ряд по степеням .
Ряд вида , называется рядом Тейлора.
Коэффициенты этого ряда: , , , …, называются коэффициентами Тейлора функции в точке .
Если , то получим частный случай ряда Тейлора, ряд Маклорена: .
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Среди методов научных исследований особое место занимают наблюдение, опыт, эксперимент. Все эти понятия можно объединить одним феноменом – испытание. К испытаниям можно отнести выбор нужной вещи из нескольких одинаковых, но разного цвета; выбор места в театре из нескольких предложенных и пр.
Результат полученный при испытании называется событием: выбор нужной пары вещей; выбор места в театре; выпадение того или иного числа при игре в "Спортлото" и другие. Для обозначения событий используют прописные буквы латинского алфавита: A,B,C,D и др.
Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, событие А: в "Спортлото" появляется число 8; событие B – появление четного количества очков.
Определение 2. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Например, испытание: однократное бросание монеты. Событие А: выпал герб; событие B: выпала цифра. Эти события – несовместимы, т.к. появление одного из них исключает появление другого.
Если несовместимы (несовместны) более чем два события, то говорят, что они попарно несовместимы.
Определение 3. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Противоположное событию А событие обозначается . Например, если А – попадание в мишень при одном выстреле, то – промах.
Определение 4. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно обязательно в этом опыте произойдет. Например, если в ящике находятся только белые шары, то событие "из ящика извлечен белый шар" – достоверно. Если это событие в данном испытании не может вовсе произойти, то оно называется невозможным. Например, если в ящике находится только белые шары, то испытание "извлечь из ящика красный шар" – невозможно.
Определение 5. Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.
Данные определения говорят о том, что одно и тоже событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным. Чтобы охарактеризовать событие, нужно смотреть и анализировать конкретные условия.
Определение 6. Множество событий, которые могут произойти в данном испытании называется полной группой событий. Все эти события попарно-несовместимы: появление одного и только одного из них является достоверным. Рассмотрим события, которые появляются при бросании игрального кубика: когда кубик упадет, то на его верхней грани могут быть цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. События – образуют полную группу: они попарно-несовместимы и появление только одного из них является достоверным. Такие события считаются равновозможными, так как нет основания полагать, что одно из них более возможно, чем другие.
Определение 7. Каждое событие, которое может наступить в результате испытания (опыта) называется элементарным событием или шансом, исходом. Например, события – элементарные исходы при подбрасывании кубика.
Определение 8. Событие А называется благоприятствующим событию B, если наступление события А влечет за собой наступление события B. Пусть B – событие появления четного числа при бросании кубика, тогда события – благоприятствующие события.