4. Векторная алгебра

   1. Понятие вектора

В природе существуют различные величины. Скалярными называются величины, которые заданы только их числовыми значениями (длинна, площадь, масса и т.д.). Величины, которые заданы числовым значением и направлением называются векторными (скорость, ускорение, сила и т.д.).

В

екторные величины изображаются с помощью векторов. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. – вектор, начало которого в , а конец в . Вектор можно обозначать и одной латинской буквой с чертой над ней: .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается . Он не имеет направления.

2. Коллинеарные векторы

Коллинеарными называются векторы, которые расположены (лежат) на одной или параллельных прямых:

Длина вектора или обозначается или и называется модулем. Два вектора считаются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину: . Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными: и .

противоположный .

3. Операции над векторами

1. Сложение: пусть и два свободных вектора. Возьмем произвольную точку и параллельно самим себе перенесем начало вектора в , а начало вектора в конец вектора : . Соединим начало с концом – получим , который назовем суммой . Это правило называется правилом треугольника.

В торой способ (правило параллелограмма): начала обоих векторов перенесем в точку и на векторах и как на сторонах построим параллелограмм. Диагональ будет суммой векторов и .

Последовательное проведение параллельного переноса начала следующего слагаемого в конец предыдущего даст сумму векторов.

2. Разностью двух векторов и называется третий вектор , который в сумме с вычитаемым вектором , дает вектор : , то .

И з определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности: откладываем из общей точки . Вектор , соединяющий концы и и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью .

Действительно:

3. Произведением вектора на действительное число ( или ) называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор при и противонаправленный вектору при . Противоположный вектору вектор можно рассматривать как умножение на .

4. Угол между векторами

У глом между векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения с другим, после приведения этих векторов к общему началу.