![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
Х
– нсв, f(x)
– плотность распределения. Математическим
ожиданием нсв Х, возможные значения
кот принадлежат отрезку
,
назыв определенный интеграл.
.
Если возможные значения случайной
величины рассматриваются на всей
числовой оси, то мат-ое ожидание находится
по формуле:
.
Дисперсией нсв назыв мат-ое ожидание
квадрата ее отклонения.
,
или
.
Если х принадлежат отрезку
,
то
.
Средним квадратичным отклонением назыв
квадратный корень из дисперсии:
.
Пр:
.
.
Модой
дискретной случайной величины назыв
ее наиболее вероятное значение. Для нсв
мода – такое значение случайной величины,
при кот плотность распределения имеет
максимум.
.
Медианой
случайной величины Х назыв такое ее
значение, относительно кот равновероятно
получение большего или меньшего значения
случайной величины.
.
Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
Распред.
вер-тей назыв. Равномерным, если на
интервале, кот принадлежат все возможные
значения СВ, плотность распред. сохраняет
постоянное знач. Пр: шкала измерительного
прибора проградуирована некот.ед. Ошибку
при округлении отсчета до ближ.целого
деления м рассматривать как СВ Х, кот м
принимать с постоянной плотностью
вер-ти любое знач. м/у 2 соседними целыми
делениями. Т.о., Х имеет равномерное
распред. Найдем плотность равномерного
распред f(x),
считая, что все возможные знач.СВ заключ.в
интервале(а,b),
на кот функция f(x)
сохраняет постоянные знач. По условию
Х не принимает знач.вне интервала (а,b),
поэтому f(x)=0
при x<a
и x>b
найдем постоянную С, т.к. все возможные
знач.СВ принадлежат (а,b)
то д выполниться соотношение
или
отсюда С=1/
/(b-a).
Итак, f(x)=
Н
ормальным
назыв.
распред.вер-тей нсв, кот описывается
плотностью f(x)=
где а - мат.ожидание, а σ-ср.квадратич.отклонение
норм.распред. а)D(f(x))=(-∞;∞).
б)Е(f(x))>0-график
выше оси Ох.
в)f’(x)=
*1*2/2
(a-x)=-(x-а)/
*
,f’(x)=0
при х=а
f(a)=
.
г)f”(x)=
(1*
+(x-a)
*2(x-a))=
*(x-(a+σ))
*(x-(a-σ));
f”(x)=0,при
x=a+σ
и x=a-σ
- это точки перегиба
f(a-σ)=f(a+σ)=
*
=
;
Кривая
Гаусса: очевидно, что изменения величины
параметра а не влияет на форму кривой
и приводит лишь к сдвигу ее вдоль оси
Ох (вправо, если а больше и наоборот), с
увеличением σ максимум ордиат норм.кривой
убыв. И кривая становится более пологой,
если σ уменьшается то происходит
растяжение графика. Функция
Гаусса:φ(х)=
*
Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
Известно,
что если СВ Х задана плотностью
распределения F(x),
то вер-ть того, что Х примет знач.,
принадлежащее интервалу (a,b)
равна Р(α<X<β)=
,если
СВ Х распределена по норм.закону, тогда
вер-ть того, что Х примет знач., принадлежащее
интервалу (α,β) равна
,
пользуясь функцией Лапласа Ф(х)=
dz
и окончательно получим
Ф(
)-Ф(
).
Пр: СВ Х распределена по норм закону.
Мат.ожидание и ср.квадратич.отклонение
этой величины соответственно равны 30
и 60,найти вер-ть того, что Х примет знач.,
принадлежащее интервалу (10,50): α=10, β=50,
а=30, σ=10 поэтому
Ф(
)-Ф(
)=2Ф
и по табл. Ф(2)=0,4772 отсюда
=
2*0,4772=0,9544