- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Коэффициент корреляции — показатель характера изменения двух случайных величин. R.
. Св-ва: 1) если Х и У нсв, то =0; 2) -1 1. При этом, если |r| =1, то м/у Х и У функциональная , а именно линейная зав-ть; 3) характеризует относительную величину отклонения М(ХУ) от М(Х)М(У), и т.к. отклонение имеет место только для зависимых величин, то характеризует тесноту зависимости.
Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. М значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантом и . В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле: . М доказать, что справедливы формулы: , где ; , где . Д/контроля целесообразно выполнить расчеты по обеим формулам и сравнить рез-ты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем 2-мя способами: суммируя произведения частот на произведения соответствующих условных вариант по строкам и столбцам. Д/1-ой строки таблицы: . Д/2-ой строки таблицы:
. Сложим 1-ую и 2-ую строчку: . Итак, , где . Аналогично, суммируя произведения частот на произведения соответствующих условных вариант по столбцам, получим: , где .
Пр: Вычислить по данным корреляционной таблицы
Y |
Х |
|
|||||
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
||
15 |
5 |
7 |
- |
- |
- |
- |
12 |
25 |
- |
20 |
23 |
- |
- |
- |
43 |
35 |
- |
- |
30 |
47 |
2 |
- |
79 |
45 |
- |
- |
10 |
11 |
20 |
6 |
47 |
55 |
- |
- |
|
9 |
7 |
3 |
19 |
|
5 |
27 |
63 |
67 |
29 |
9 |
n=200 |
Решение: , где – х=40 примерно середина вариационного нуля; шаг равен разности м/у двумя соседними вариантами. . Составим корреляционную таблицу в условных вариантах:
|
|
|
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
5 |
7 |
- |
- |
- |
- |
12 |
-1 |
- |
20 |
23 |
- |
- |
- |
43 |
0 |
- |
- |
30 |
47 |
2 |
- |
79 |
1 |
- |
- |
10 |
11 |
20 |
6 |
47 |
2 |
- |
- |
|
9 |
7 |
3 |
19 |
|
5 |
27 |
63 |
67 |
29 |
9 |
n=200 |
В каждой клетке, в кот частота , записывают в правом верхнем углу произведение частоты на варианту u, например, 5*(-3)=-15 и т.д. Складывают все числа, помещенные в правых углах одной строки и их сумму записывают в клетку той же строки столбца . Умножают варианту на и полученное произведение записывают в последнюю клетку той же строки, т.е. в клетку столбца . Наконец, сложив все числа этого столбца, получают сумму , кот равна искомой сумме , например, , то и . Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам .
Статическая проверка статических гипотез. Основная и альтернативная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия. Экспериментальные и критические значения. Критические области.
Статической назыв гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Например, генеральная сов-ть распределена по закону Пуассона. Нулевой, или основной назыв выдвинутую гипотезу . Конкурирующей, или альтернативной назыв гипотезу , кот противоречит нулевой. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что мат-ое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза м состоять в предположении, что а не равно 10, т.е. . Выдвинутая гипотеза м.б. правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят стат-ими методами, ее назыв статической. В итоге стат-ой проверки гипотезы в двух случаях м.б. принято неправильное решение, т.е. м.б. допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Последствия этих ошибок м.б. весьма различны. Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; а если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода м повлечь гибель людей. Критическая область – сов-ть значений критерия, при кот нулевую гипотезу отвергают. Мощность критерия – вер-ть попадания в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Т.е. мощность критерия есть вер-ть того, что нулевая гипотеза отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.
Гипотеза о значении генеральной средней. Связь этой гипотезы с доверительным интервалом для математического ожидания. Примеры.
Две гипотезы о равенстве математических ожиданий двух выборок. Примеры.
Гипотеза о равенстве дисперсий двух выборок. Гипотеза о существенности корреляционной связи. Примеры.
Гипотеза о виде распределения. Критерий Пирсона. Примеры.