- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
Поток – пос-ть событий, кот наступают в случайные моменты времени. Пример: поток вызовов на телефонной станции, поток включений электроприборов в бытовом щите. События, образовавшие поток, в общем случае м.б. различными. Будем рассматривать лишь поток однократных событий, различаются лишь моментами появления
Поток событий назыв регулярным, если событие следует одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальном времени, но представляет интерес как предельный случай. Свойства потока: 1. Поток событий назыв стационарным, если вер-ть попадания того или иного числа событий на участок времени длиной зависит только от того, где именно на оси t расположен этот участок. Пример: поток вызовов на ТС от 12 до 13. 2. Поток без последствий, если д/любых непрерывающихся участков времени число событий на одни из них не зависит от числа событий, попадающих на другие. Пример: поток пассажиров на стации метро. 3. Ординарный, если вер-ть попадания на участок 2 и более событий пренебрежимо мала по сравнению вероятного попадания одного события. Если поток явл стационарным, ординарным без последствий, то он назыв простейшим, или стационарным пуассоновским потоком (связано с тем, что при соблюдении условий, число событий, попадающих на фиксированный интервал времени будет распределено по закону Пуассона). . Простейший поток играет среди потоков особую роль, аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения.
Марковский случайный процесс.
Процесс, протекающий в системе, назыв Марковским, если система случайно переходит из одного состояния в другое, т.е.в системе происходит случайный процесс, и если при этом вер-ть перехода из одного состояния в другое зависит только от первого состояния и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние. Иначе, Марковский случайный процесс предстает в виде цепей Маркова. Цепь Маркова – пос-ть испытаний, в каждом из кот появляется одно из k несовместимых событий А1, А2,…, Аk полной группы, причем условная вер-ть то, что в S-испытании наступит событие , где j=1, 2,…, k, при условии, что (s-1) - испытуемое, наступило событие , где i=1, 2,…, k, не зависит от результата цепи Маркова. Понятие независимых испытаний. Различают цепи Маркова с дискретным временем, изменение состояния системы происходит в определенное время и непрерывное время – изменение состояний в любые случайные возможные моменты времени. Однородная цепь – цепь Маркова, если условная вер-ть не зависит от номера испытаний. Переходная вер-ть - условная вер-ть того, что из состояния i в итоге следующего состояния система перейдет в состояние j. Матрица, кот составлена из всех переходов вер-тей системы, имеющихся k состояний, назыв переходной матрицей.
. Сумма переходных вер-тей в каждой строке = 1, т.к. события вер-ти, кот помещены в эту матрицу, образуютт полную группу. Пусть - это вер-ть того, что за -испытаний система перейдет из состояния i в состояние j, при получим переходные вер-ти . Пусть r – промежуточное состояние м/у i и j, в кот система переходит из начального состояния i за m испытаний с вероятностью . За оставшиеся (n-m)-испытаний система из промежуточного состояния r переходит в конечное состояние j с вер-тью . По формулам полной вер-ти . Эту формулу назыв равенством Маркова. Зная все переходные вер-ти , зная матрицу перехода из состояния в состояние за 1 шаг, м найти вер-ти перехода из состояния в состояние за 2 шага, следовательно, м найти матрицу и т.д. Т.к. , то получаем в матричном виде.
*