- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
Пусть требуется изучить колич-ый признак генер-ой сов-ти. Допустим, что из теоретического соображения удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, кот определяет это распределение. . Статическая оценка неизвестного параметра теор-го распределения – ф-ия от наблюдаемых случайных величин. Для того чтобы стат-ие оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они д удовлетворять определенным требованиям. Пусть * - стат-ая оценка неизвестного параметра теорит-го распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка *. Повторим опыт, т.е. извлечем из генер-ой сов-ти др выборку того же объема и по ее данным найдем оценку *. Повторяя опыт многократно, получим числа *, *…, *, кот различны м/у собой. Т.о., оценку * м рассматривать как случайную величину, а числа *, *…, * - ее возможные значения. Оценка * дает приближенное значение с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число *(i=1,2,…,k) больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и мат ожидание случайной величины * больше, чем , т.е. М( *)> . Очевидно, что если * дает оценку с недостатком, то М( *)< . Т.о. испытание стат-ой оценки, мат ожидание кот не равно оцениваемому параметру, привело бы к стат-им ошибкам. Несмещенной назыв стат-ая оценка * мат ожидание кот равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. М( *)= . Смещенной назыв оценку, мат ожидание кот не равно оцениваемому параметру. Эффективной назыв статическая оценка, кот имеет наименьшую возможную дисперсию. Состоятельной назыв статическая оценка, кот при стремится по вер-ти к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.
Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
Выборочная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их средних значений . Если все значения признака выборки объема n различны, то . Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то , т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонения с весами, равными соответствующим частотам. Выборочным средним квадратическом отклонением назыв квадратный корень из выборочной дисперсии .
Если «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее мат-ое ожидание было равно генеральной дисперсии, т.е. умножить на дробь , то получим исправленную дисперсию, кот обозначается через . = . Исправленная дисперсия явл несмещенной оценкой генер-ой дисперсии. . Итак, в качестве оценки генер-ой дисперсии принимают исправленную дисперсию . Для оценки среднего квадратического отклонения генер-ой сов-ти используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, кот равно квадратному корню из исправленной дисперсии .
Пример, выборочная совокупность задана таблицей распределения
1 2 3 4
20 15 10 5
Найти выборочную дисперсию.
Решение: найдем выборочную среднюю
Найдем выборочную дисперсию