![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
Биномиальное
распределение.
Пусть
производится n
независимых испытаний, в каждом из кот
событие А м появляться либо не появляться.
Вер-ть наступления события во всех
испытаниях постоянная и равна p
(следовательно, вер-ть не появления
q=1-p).
Х – число появлений события А в этих
испытаниях. Найти закон распределения
величины Х. Событие А в n
испытаниях м либо не появляться, либо
появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n
раз. Т.о. возможные значения X
такие:
.
Чтобы найти вер-ти этих возможных
значений, д/чего достаточно воспользоваться
формулой Бернулли.
,
где k=0,1,2,…,
n.
Биномиальным назыв распределение
вер-тей, определяемое формулой Бернулли.
Закон назван биномиальным потому, что
правую часть равенства
м рассматривать как общий член разложения
бинома Ньютона:
.
Пр: вер-ть выигрыша по 1 билету лотереи
=0,2. Какова вер-ть того, что из 6 билетов
2 выигрышные. Решение: Событие А –
выигрышный билет, p=0,2,
q=0,8.
.
Распределение Пуассона. Пусть производится
n
независимых испытаний, в каждом из кот
вер-ть появления события А равна p
(следовательно, вер-ть не появления
q=1-p).
Х – число появлений события А в этих
испытаниях. Д/определения вер-ти k
появлений события в этих испытаниях
используют формулу Бернулли. Если вер-ть
события мала (
),
а n
велико, используют асимптотическую
формулу Пуассона.
.
Т.к. np=λ,
то p=λ/n,
тогда:
.
А т.к. n
имеет очень большое значение, вместо
подставим
.
Итак,
.
Т.о.
.
Эта формула выражает закон распределения
Пуассона вер-тей массовых (n
велико) и редких (p
мало) событий. Пр: Завод отправил на базу
5000 доброкачественных изделий. Вер-ть
того, что в пути изделие повредиться,
равно 0,0002. Найти вер-ть того, что на базу
прибудут 3 негодных изделия. Решение:
n=5000,
p=0,0002,
k=3.
Найдем
:
.
По формуле Пуассона искомая вер-ть
приближенно равна .
.
Геометрическое распределение. Пусть
производится независимые испытания, в
каждом из кот вер-ть появления события
А равна p
(0<p<1)
и вер-ть его не появления q=1-p.
Испытание заканчиваются, как только
появится событие А. Т.о., если событие А
появилось в k-м
испытании, то предшествующих k-1
испытаниях оно не появлялось. Дискретная
случайная величина Х – число испытаний,
кот нужно провести до первого появления
события А. Возможными значениями Х явл
натуральные числа:
Пусть в первых k-1
испытаниях событие А не наступило, а в
k-ом
испытании появилось. Вер-ть этого
«сложного события», по теореме умножения
вер-тей независимых событий,
,
где k=1,2,…
Отсюда получаем геометрическую прогрессию
с первым членом p
и знаменателем q
(0<q<1):
Поэтому распределение
назыв геометрическим. Пр: Из орудия
производится стрельба по цели до первого
попадания. Вер-ть попадания в цель равна
0,6. Найти вер-ть того, что попадание
произойдет при третьем выстреле. Решение:
p=0,6,
q=0,4,
k=3.
Искомая вер-ть по формула