5. Планиметрия

Теоретические сведения

, , - стороны треугольника.

, , - углы треугольника, - угол, лежащий против стороны , - угол, лежащий против стороны , - угол, лежащий против стороны  .

, , - высоты треугольника, опущенные из вершин, соответственно на стороны , и .

- радиус окружности, описанной около треугольника.

- радиус окружности, вписанной в треугольник.

- периметр треугольника, - полупериметр треугольника.

- площадь.

Треугольники

5.1. Косоугольный треугольник

1) Формулы площади треугольника:

,

,

,

,

.

2) Теорема синусов:

3) Теорема косинусов:

4) Медиана треугольника делит сторону пополам, а треугольник на два равновеликих по площади.

5)Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

	, . .
Рисунок 14

6) Биссектриса угла треугольника делит этот угол пополам, а противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные сторонам этого угла.

7) Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр окружности, вписанной в треугольник.

Рисунок 15

5.2. Прямоугольный треугольник ( - катет, - катет, - гипотенуза)

1) Теорема Пифагора: .

2) Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы:

3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна .

4) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.

5) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенуза на синус противолежащего или косинус прилежащего угла:

6) Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего угла:

7) Если из вершины прямого угла на гипотенузу опущена высота, то квадрат этой высоты равен произведению отрезков, на которые поделилась гипотенуза, а квадрат любого катета равен произведению гипотенузы на отрезок гипотенузы, прилежащий к этому катету.

Рисунок 16

5.3 Равнобедренный треугольник

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В равнобедренном треугольнике три отрезка – высота, медиана и биссектриса – проведенные к основанию, равны.

Многоугольники

1) Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

2) Сумма углов выпуклого -угольника равна

3) Радиус окружности, описанной около правильного -угольника со стороной вычисляется по формуле

4) Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной вычисляется по формуле

.

Для правильного треугольника
Для квадрата
Для правильного шестиугольника

Четырехугольники

- стороны, , - диагонали четырехугольника, - площадь.

1) В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна .

2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, т.е. .

3) Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: