3.2. Квадратные неравенства

Квадратное неравенство имеет вид ( ), где . Решаем квадратное уравнение и схематично изображаем график функции относительно оси . Возможны случаи:

1 случай. Уравнение имеет два корня	2 случай. Уравнение имеет один корень	3 случай. Уравнение не имеет корней

Рисунок 3

При решении неравенства штрихуем знак «+», а при решении неравенства штрихуем знак «–».

Пример. Решить неравенство: а) б)

в) г)

► а) Решим уравнение

Рисунок 4

.

б) решим уравнение или

Рисунок 5

в)

Рисунок 6

г) Решим квадратное уравнение

, значит, квадратное уравнение корней не имеет.

Рисунок 7

Неравенство верно при любом ◄

3. Рациональные неравенства

Для решения рациональных и дробно-рациональных неравенств применяется метод интервалов.

Дробно-рациональное неравенство имеет вид: (Если знаменатель дроби содержит , то от знаменателя освобождаться нельзя!) Числитель и знаменатель дроби нужно разложить на множители вида . Обозначим . Находим:

Нули из условия:

Область определения функции:

Полученные точки отмечаем на числовой прямой, расставим знаки левой части исходного неравенства на образовавшихся промежутках и запишем ответ.

Замечание. Если левая часть неравенства содержит четную степень скобки , то в точке смены знака не происходит.

Пример. Решить неравенство: а) б)

►а) Отметим на числовой прямой точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль. Так как перед в каждой скобке стоит знак «+», то правый знак «+» и знаки чередуем, но переходя через точку знак не меняется.

Рисунок 8

б) Перенесем 2 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю.

Пусть

Нули находим из условия:

Область определения функции:

Рисунок 9

◄

3.4. Иррациональные неравенства

I вид: , если , решений нет, если	II вид: , если , если
III вид:	III вид:

Пример. Решить неравенство: а) б)

► а)

б)

.

3.5. Показательные неравенства

I вид: при при	(16)
II вид: при при	(17)

III вид: введение новой переменной.

Пример. Решить неравенства: а) б) в)

►а) б)

в) ◄

3.6. Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств рекомендуется начинать с определения ОДЗ неравенства в системе, затем тщательно следить за равносильностью всех совершаемых преобразований.

I вид:		(18)
II вид:		(19)

II вид: Преобразование неравенства к виду (Метод потенцирования).

III вид: Введение новой переменной.

Замечание. При решении методом введения новой переменной для введенной переменной решение записываем в виде неравенств, и в эти неравенства выполняем обратную подстановку.

Пример. Решить неравенства: а) б)

в)

►а)

в) ОДЗ:

По свойству логарифмов 8, заменим , получим: Решаем методом подстановки

Получим неравенство Решаем дробно-линейное неравенство методом интервалов.

Рисунок 10

◄