2.7. Рациональные уравнения

Рациональные уравнения имеют вид

(8)

Для решения таких уравнений нужно найти область допустимых значений уравнения (ОДЗ ) из условия: и освободиться от знаменателя.

Пример. Решить уравнение

►Разложим знаменатель на множители:

ОДЗ : Освободимся от знаменателя, для этого находим дополнительные множители:

, , ◄

2.8. Уравнения с модулем

I вид: , где .

II вид:

(9)

III вид. Уравнения, содержащие несколько модулей.

Для их решения на числовой прямой отметим точки, в которых подмодульные выражения равны нулю, на каждом из полученных интервалов определяем знаки подмодульных выражений и решаем уравнение на каждом интервале.

Пример. Решить уравнение а) б)

в)

► а)

б) в) На числовой прямой отметим точки и , в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках

Рисунок 2

Решаем уравнение на каждом интервале.

1)

2) Ø.

3)

Ответ: а) , б) , в) .◄

2.9. Кубические уравнения

Кубическое уравнение имеет вид

(10)

Один из корней уравнения находим среди делителей свободного члена и делим левую часть уравнения, то есть многочлен делим на , в частном получим многочлен второй степени . Поэтому левую часть уравнения можно разложить на множители и решить уравнение:

Пример. Решить уравнение:

►Делители свободного члена: Корнем уравнения является число -2, то есть Делим левую часть уравнения на

Уравнение имеет вид Отсюда ◄

2.10. Иррациональные уравнения

I вид: , где .

II вид:

(11)

Пример. Решить уравнение: а) б) в)

► а)

б) решений нет, так как при любом

в)

◄

2.9. Показательные уравнения

I вид:	(12)
II вид:	(13)

где

III вид: введение новой переменной.

Пример. Решить уравнение: а) б)

в) г)

►а) б)

в) ◄

г)

2.10. Логарифмические уравнения

I вид:

(14)

где

II вид:

(15)

где

III вид: Преобразование уравнения к виду (Метод потенцирования).необходимо найти ОДЗ уравнения, а затем пропотенцировать обе части уравнения, то есть свести его ко II виду.

Пример. Решить уравнение: а) б)

в)

► а)

б)

в) ◄

3. Алгебраические неравенства

3.1. Линейные неравенства

Линейное неравенство имеет вид ( )

Перенесем свободный член в правую часть, получим: ( )

Случай 1. Если , то делим обе части на , знак неравенства не меняем: .

Случай 2. Если , то делим обе части на , знак неравенства меняем: .

Замечание. Если неравенство нестрогое, то точки, при которых левая часть неравенства равна нулю, изображаем жирным кружком.

Если неравенство строгое, то точки, при которых левая часть неравенства равна нулю, изображаем пустым кружком.

Пример. Решить неравенство: а) б)

► а)

б) освободимся от знаменателя

				.◄