![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Переходим к изучению дифференциальных уравнений первого порядка, для которых известны способы нахождения их решений или интегралов. Одним из таких являются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида
,
где правая часть
есть произведение функции
,
зависящей только от x,
на функцию
,
зависящую только от y,
называют уравнением
с разделяющимися переменными.
Пусть
.
Тогда по правилу пропорции, поменяв
местами
и
,
получим
.
Интегрируя левую
часть по y,
а правую по x,
получим общий интеграл данного уравнения
.
В дальнейшем дифференциальное уравнение вида
будем называть
дифференциальным уравнением с разделенными
переменными (при
имеется функция, зависящая только от
x,
а при
функция, зависящая только от y).
Его общий интеграл:
.
Пример
9.4.1. Решить
дифференциальное уравнение
.
Решение. Это
дифференциальное уравнение с разделенными
переменными, поэтому
.
Пусть
,
тогда
.
Получили общий интеграл, геометрически
представляющий собой семейство
окружностей радиуса С
с центром в начале координат.
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметричной форме.
Если
и
для любых x
и y
из области существования решения, то,
разделив обе части уравнения на
,
получим дифференциальное уравнение с
разделенными переменными
.
Используя свойство инвариантности дифференциала, проинтегрируем равенство . В результате получим выражение
,
являющееся общим интегралом дифференциального уравнения .
В тех точках, где
или
могут появиться другие решения уравнения
. В самом деле, если x
= x1
– корень уравнения
,
то, положив в x
= x1,
получим тождество
,
поскольку
и
.
Следовательно, x
= x1
– решение уравнения . Аналогично, если
y1
– корень уравнения
,
то y
= y1
– решение уравнения .
Пример
9.4.2. Решить
уравнение
.
Решение. Разделим
обе части на произведение
.
Тогда
(в
этом примере константу удобно выбрать
в виде ln
C).
Отсюда получаем
,
тогда
общее решение данного уравнения. Кроме
него решениями этого уравнения являются
функции x
= 0 и y
= 0.
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида
.
Введем замену
.
Тогда
,
а
(предполагаем
)
и уравнение принимает вид
.
После взятия интеграла необходимо
вместо z
подставить
.
Если
b=0,
получаем уравнение
,
которое является уравнением с разделенными
переменными,
.
9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
Определение
9.5.1. Функция
называется однородной
n-го
порядка относительно переменных x
и y,
если при
справедливо тождество
.
Пример
9.5.1. Функция
есть однородная функция второго порядка,
так как
.
Пример
9.5.2. Функция
есть однородная функция нулевого
порядка, так как
.
Определение 9.5.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно x и y.
По условию
.
Положив в этом тождестве
,
получим
,
т.е. однородная функция нулевого порядка
зависит только от отношения аргументов.
Уравнение принимает вид
.
Сделаем подстановку
,
т.е. y
= zx.
Тогда
.
Подставляя в , получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
.
Подставляя после интегрирования , получим общий интеграл уравнения , а значит, и уравнения .
Пример
9.5.3. Решить
уравнение
.
Решение. В
правой части имеется однородная функция
нулевого порядка, так как
.
Пусть
,
y
= zx,
и наше уравнение принимает вид
.
Отсюда, интегрируя, получаем
.
Подставляя
,
получим общий интеграл исходного
уравнения
.
Замечание. Дифференциальное уравнение вида
будет однородным
в том и только том случае, когда
и
являются однородными функциями одного
и того же порядка.
Действительно, из
уравнения
.
Тогда
.
Уравнение можно решать подстановкой
y
= zx,
dy
= zdx
+ xdz,
не приводя его к виду .
Рассмотрим далее дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
К однородным уравнениям сводятся уравнения вида
,
где a1, b1, c1, a2, b2, c2 – постоянные числа.
Для этого введем новые переменные t и S вместо x и y по формулам
,
,
где и – некоторые числа.
Тогда dx=
dt,
dy
= dS,
и уравнение принимает вид
.
Подберем числа и так, чтобы уравнение стало однородным. Для этого достаточно потребовать выполнение системы равенств:
Если определитель
,
то система имеет единственное решение
и ,
при котором уравнение становится
однородным,
и которое решается подстановкой
.
После решения необходимо вернуться к
х
и у
по формулам
,
.
Если
,
то, положив
,
получим
,
и тогда исходное уравнение принимает
вид
,
т.е. имеет вид
,
которое подстановкой
сводится к дифференциальному уравнению
с разделяющимися переменными, как было
показано в 9.4.
Если же
,
то
,
,
и уравнение принимает вид
,
,
,
где
.
Тогда
– общее решение .
Примеры решения таких уравнений показаны в практической части модуля.