![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
Кроме задачи Коши,
важными в теории дифференциальных
уравнений являются краевые задачи, в
которых условия, наложенные на решение,
задаются не в одной точке
,
как в случае задачи Коши, а на концах
отрезка
,
внутри которого ищется искомое решение.
Геометрически в краевых задачах речь
идет об отыскании интегральной кривой
дифференциального уравнения, концы
которой находятся в точках с абсциссами
x
= a
и x
= b.
Пусть, например,
является интегральной кривой некоторого
дифференциального уравнения второго
порядка. Тогда для него простейшие
краевые (граничные) условия имеют вид
,
,
где А и В заданные числа. Более общими граничными условиями являются соотношения
связывающие значения искомой функции и ее производной в точках a и b. Здесь , 1, , 1 – заданные действительные числа, причем и 1; и 1 одновременно не равны нулю.
Краевая задача может иметь единственное решение, либо бесконечное множество решений, либо не иметь решения.
Пример
9.13.1. Решить
краевую задачу
,
,
.
Решение.
,
,
т.е.
– искомое единственное решение.
9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Определение
9.14.1. Дифференциальное
уравнение n-го
порядка называется линейным,
если оно первой степени относительно
искомой функции у
и ее производных
,
т.е. имеет вид:
,
где
– заданные функции от х
или постоянные, причем
для всех значений х
из той области, в которой мы рассматриваем
уравнение . В дальнейшем будем
предполагать, что функции
и
непрерывны при всех значениях х
и, что коэффициент
(если он не равен 1, мы можем все члены
уравнения поделить на него). Функцию
,
стоящую в правой части уравнения, будем
называть правой частью уравнения.
Если
,
то уравнение называется линейным
неоднородным.
Если же
,
то уравнение имеет вид
и называется
линейным
однородным
(левая часть этого уравнения является
однородной функцией первого порядка
относительно
,
так как
).
9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений на примере уравнений второго порядка.
Теорема 9.15.1. Если у1 и у2 два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка
,
то у1 + у2 будет решением этого уравнения.
Доказательство. Так как у1 и у2 – решения , то
,
.
Подставим у1 + у2 в левую часть :
,
т.е. у1
+ у2
тоже решение уравнения .
Теорема 9.15.2. Если у1 - решение уравнения и С постоянная, то Су1 будет тоже решением этого уравнения.
Доказательство.
.
Определение
9.15.1. Два
решения уравнения у1
и у2
будем называть линейно
независимыми
на отрезке
,
если их отношение на этом отрезке не
является постоянным, т.е. если
.
В противном случае решения называются
линейно
зависимыми.
Иными словами, два
решения у1
и у2
называются линейными зависимыми на
,
если
,
что
при
.
В этом случае
.
Пример
9.15.1. Пусть
дано уравнение
.
Легко проверить, что функции
,
,
3
,
5
будут решениями этого уравнения. При
этом функции
и
линейно независимы на любом отрезке,
так как
при изменении х.
Функции же
и 3
линейно зависимы, так как
.
Определение 9.15.2. Если у1 и у2 функции от х, то определитель
называется определителем Вронского, или вронскианом данных функций.
Для трех функций
и т.д.
Теорема 9.15.3. Если функции у1 и у2 линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.
Доказательство. Действительно,
если
,
где
,
то
и
.
Теорема
9.15.4. Если
решения у1
и у2
уравнения линейно независимы на
отрезке
,
то определитель Вронского
не обращается в нуль ни в одной точке
указанного отрезка.
Заметим, что теорема верна для дифференциального уравнения любого порядка до n включительно. Доказательство теоремы не приводим.
Теорема 9.15.5 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения , то
,
где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть его общее решение.
Доказательство. Из теорем 9.15.1 и 9.15.2 следует, что функция будет решением при любых значениях С1 и С2.
Докажем далее, что
каковы бы ни были начальные условия
,
,
можно так подобрать значения произвольных
постоянных С1
и С2,
чтобы соответствующее частное решение
удовлетворяло эти начальным условиям.
Подставляя начальные
условия в
,
,
будем иметь:
Из системы можно
найти
и
единственным образом, так как определитель
этой системы
в силу линейной независимости у1
и у2.
Частное решение
будет удовлетворять начальным условиям.
Теорема доказана.
Для уравнения общее решение имеет вид
,
где у1,
у2,
…, yn
– линейно независимые на
функции, т.е.
.
Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения (однородного и неоднородного) с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такие методы существуют. Мы их сейчас и рассмотрим.