- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
При решении многих задач требуется найти функции , , …, , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент х, искомые функции у1, у2, …, yn и их производные.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка.
где у1, у2, …, yn – искомые функции, х – аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Проинтегрировать систему – значит определить функции у1, у2, …, yn, удовлетворяющие системе уравнений и данным начальным условиям
, , …, .
В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
где коэффициенты – постоянные числа.
Будем искать частные решения системы в следующем виде:
, , …, .
Требуется определить постоянные 1, 2, …, n и k так, чтобы функции , ,…, удовлетворяли системе . Подставляя их в систему, получим,
Сократим на обе части уравнений. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при 1, 2, …, n, получим систему:
Система это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно 1, 2, …, n. Выпишем определитель этой системы
.
Если k таково, что , то система имеет только нулевые решения 1 = 0, 2 = 0, …, n = 0, а формулы дают только тривиальные решения
.
Таким образом, нетривиальные решения мы получим только при таких k, при которых определитель , т.е.
.
Это уравнение называется характеристическим уравнением системы , оно является алгебраическим уравнением n-го порядка для определения k.
Рассмотрим только случай, когда корни характеристического уравнения действительные и различные : k1 k2 … kn. Для каждого корня напишем систему и определим числа , , …, .
Таким образом, получаем:
для корня k1: , , …, ;
для корня k2: , , …, ;
………………………………………………………………………………….
для корня kn: , , …, .
Путем непосредственной подстановки в уравнения системы можно убедиться, что система функций
где С1, С2, …, Сn – произвольные постоянные, тоже является решением этой системы.
В случае комплексных корней применяются формулы Эйлера , тогда частными решениями будут и . Соответствующий пример рассматривается в практической части модуля.
Пример 9.19.1. Решить систему
Решение. Характеристическое уравнение
. Легко угадать один корень . Разделив по правилу деления многочленов на , получим , .
Для система имеет вид
Решим эту систему методом Гаусса. Имеем (третье уравнение совпадает с первым и мы его отбрасываем): Положим , тогда , т.е. , , .
Точно так же для получим , , , а для : , , . Таким образом,
для : , , ;
для : , , ;
для : ; ; .
Тогда – общее решение исходной системы.
Системы дифференциальных уравнений можно решать сведением к одному дифференциальному уравнению высшего порядка. Покажем, как это делается на примере.
Пример 9.19.2. Решить задачу Коши для системы
.
Решение. Из второго уравнения . у и подставляем в первое уравнение, тогда
, т.е. получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение .
Составляем и решаем характеристическое уравнение , .
, т.е. , где = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде , т.е. и , а . и
Таким образом,
– общее решение данной системы.
Используя начальные условия , получаем
, .
Искомое решение задачи Коши имеет вид: