- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Графическая схема модуля
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
1. или - уравнения с разделяющимися переменными. Решаются путём разделения переменных и интегрированием. Уравнение вида подстановкой сводится к дифференциальному уравнению (ДУ) с разделяющимися переменными.
2. ДУ называется однородным, if – однородная функция нулевого порядка . Сводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены , . Уравнение вида заменой , сводится либо к однородному ДУ (когда ), либо к уравнению с разделяющимися переменными (если ).
3. – линейное ДУ I порядка;
– ДУ Бернулли.
Общее решение может быть получено с помощью подстановки , .
4. ДУ называется уравнением в полных дифференциалах, если , что . Необходимое и достаточное условие . Общий интеграл , можно найти по одной из формул: , .
- любая точка из области -я решения, чаще всего М0(0, 0).
5. Уравнения, допускающие понижение порядка
. Решается n-кратным интегрированием.
— уравнения, явно не содержащие искомой функции y(x). Полагая , , получим ДУ I порядка .
— уравнение, не содержащее явно : полагая , , получим ДУ I порядка .
6. ДУ называется линейным однородным ДУ II порядка с постоянными коэффициентами
– структура общего решения, где
– линейно независимые решения, которые находятся, исходя из корней характеристического уравнения : (1)
if D > 0, – корни (1), то ;
if D = 0, - корни (1), то ;
if D < 0, - корни (1), то .
7. ДУ называется линейным неоднородным ДУ II порядка с постоянными коэффициентами, – структура общего решения, где уодн – общее решение соответствующего однородного ДУ; уч – частное решение неоднородного ДУ.
If функция имеет специальный вид:
а) , где — многочлен степени , то
,
if ;
,
if или ;
,
if .
б) , то
,
if ,
,
if
8. Если известно общее решение линейного однородного ДУ , то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных: . - система для нахождения , , а затем путем интегрирования и .
9. Системы ДУ. Могут решаться методом исключения неизвестных, т.е. приведением к ДУ высших порядков.
Линейная однородная система с постоянными коэффициентами может также решаться составлением характеристического уравнения , нахождением его корней и соответствующих собственных векторов.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи механики, физики, астрономии и других естественных наук, а также многие проблемы техники. Поясним на примерах, как возникают в исследованиях дифференциальные уравнения.
З адача 9.1.1. Найти уравнение кривой линии, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть M(x, y) точка касания. Так как равен тангенсу угла наклона к оси OX касательной, проведенной в точке кривой, то уравнение касательной будет следующим
.
Положим X = 0, тогда
и точка В имеет координаты . По условию точка касания делит отрезок АВ пополам, поэтому , . Последнее равенство принимает вид:
.
Соотношение является примером дифференциального уравнения. Оно содержит наряду с неизвестной функцией y и ее производную .
Функцию y = y(x) 0 из уравнения легко найти:
,
где С – произвольная константа (постоянная интегрирования), удобно ее взять в виде ln C. Тогда
.
Заметим, что уравнению удовлетворяет целое семейство кривых , зависящих от параметра С. Чтобы выделить какую-то одну кривую из семейства , надо указать константу С. Для этого достаточно задать на плоскости XOY точку (x0, y0), через которую эта кривая проходит. Тогда постоянную С, соответствующую этой кривой, найдем, положив в равенстве y = y0 при x = x0. Пусть y = 2 при x = 1, тогда
.
Таким образом, искомая кривая семейства , проходящая через точку (1, 2), определяется равенством
.
Задача 9.1.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Определить закон движения, предполагая, что тело движется только под влиянием силы тяжести.
Решение. Под влиянием силы тяжести тело движется с постоянным ускорением g. Ввиду того, что ускорение выражается производной второго порядка от пути по времени, из
.
Получили дифференциальное уравнение, содержащее производную 2-го порядка.
Интегрируя дважды, получим
,
.
Постоянные С1 и С2 определим из начальных условий.
Так как отсчет пути ведется от начального момента, то при t = 0
S = 0 и, следовательно, С2 = 0.
Так как при t = 0 начальная скорость , то из уравнения получаем C1 = v0.
Итак, зависимость пройденного телом пути S от времени t:
.
Задача 9.1.3. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна А0. Найти стоимость оборудования по истечении Т лет.
Решение. Пусть A = A(t) стоимость оборудования в любой момент времени t. Тогда - скорость обесценивания оборудования вследствие его износа. Из условия задачи следует, что
,
где k – коэффициент пропорциональности, взятый со знаком минус, так как стоимость убывает.
Из следует . Потенцируя, получаем:
.
Начальное условие: при t = 0 А = А0, поэтому , C = A0. Подставляя C = A0 в , получаем
.
Чтобы найти стоимость оборудования по истечении Т лет, подставляем в t = Т.
.
Как показано в рассмотренных примерах, если мы сумеем проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, то тем самым дадим ответы на вопросы задачи, которая привела нас к нему.
Поэтому основной задачей теории интегрирования дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.
Заметим, что задачу интегрирования дифференциального уравнения можно понимать по-разному. В самой узкой постановке задачи ставится целью выражение искомых функций через элементарные функции. Эта задача, вообще говоря, не разрешима даже для самого простого уравнения , ибо, как известно, не всегда первообразная для элементарной функции представляет собой тоже элементарную функцию. В качестве примера можно взять уравнение
.
Несколько шире постановка задачи, при которой уравнение считается разрешенным, если оно приведено к квадратурам (т.е., к операциям взятия неопределенных интегралов). В этом смысле уравнение , очевидно, разрешимо. Все решения этого уравнения содержатся в формуле
.
Однако следует отметить, что уравнения, интегрируемые в квадратурах, составляют лишь незначительную часть всех дифференциальных уравнений. Так, например, очень важное во многих приложениях уравнение Бесселя
в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду любого заданного дифференциального уравнения, независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или в квадратурах.