![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка Ряднов а.В.
- •§1. Общие понятия и определения
- •§2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •§3. Однородные дифференциальные уравнения
- •§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •§5. Уравнения в полных дифференциалах
- •§6.Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
- •Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •§7. Общие понятия и определения
- •§8. Некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •§9. Общие понятия, определения и свойства линейных дифференциальных уравнений
- •§10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
§9. Общие понятия, определения и свойства линейных дифференциальных уравнений
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
(1)
где функции
непрерывны на интервале
,
причем
при
.
Мы будем рассматривать уравнения
в канонической форме, где
(для этого достаточно обе части уравнения
(1) разделить на
).
Если
тождественно не равна нулю при
,
то уравнение (1) называется линейным
неоднородным уравнением. Если же
при
,
то уравнение (1) называется линейным
однородным уравнением. При этом уравнение
(2)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1) (заметим, что в (1) мы считаем, что ).
В силу теоремы существования и единственности, решение задачи Коши для уравнения (1) существует на всем интервале и единственно.
Для краткости записи обозначим
левую часть уравнения (1) через
.
Тогда уравнение (1) кратко запишется в
виде
.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(2)
Нетрудно показать, что если
есть решения уравнения (2), то и любая их линейная комбинация
где
произвольные постоянные, является
решением уравнения (2).
Введем понятие линейной зависимости
функций. Функции
называются линейно зависимыми на
,
если существуют такие числа
,
не все равные нулю, что
(3)
при всех
Если же тождество (3) имеет место лишь
при
,
то функции
называются линейно зависимыми на
Замечание. Для линейной независимости двух функций
и
на
необходимо и достаточно, чтобы их
отношение
на
Для линейной независимости функций
,
непрерывных вместе со своими производными
до (m-1)-го порядка включительно
достаточно, чтобы определитель
Вронского (вронскиан) системы функций
не был равен нулю хотя бы в одной точке интервала
.
Если же функции
являются
решениями уравнения (2), то это условие
является и необходимым.
У линейного однородного уравнения
n-го порядка (2) всегда
существует система из n
линейно независимых решений
,
называемых фундаментальной системой
решений (ФСР) уравнения (2). Общее решение
линейного однородного уравнения (2)
имеет вид
где
- произвольные постоянные, а
- ФСР уравнения (2).
Для вронскиана решений линейного однородного уравнения (2) имеет место формула Остроградского-
Лиувилля
.
Общее решение
линейного неоднородного уравнения n-го
порядка
(3)
находится по формуле
,
где
-
общее решение соответствующего линейного
однородного уравнения, а
-
какое-нибудь частное решение неоднородного
уравнения (1).
Если известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то частное решение может быть найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Сущность метода состоит в следующем. Частное решение ищется в виде
,
(4)
где функции
определяются из системы уравнений
(5)
Относительно
система (5) является системой n
линейных неоднородных уравнений, причем
определитель матрицы системы есть
при . Поэтому система (5) имеет единственное решение
Откуда
где
- произвольные постоянные (которые можно
положить равными нулю).
Частное решение можно находить и
методом суперпозиции, состоящем в том,
что если
является частным решением линейного
неоднородного уравнения
то функция
Является частным решением линейного неоднородного уравнения
.