§5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы (2)

Если известна функция , полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то общий интеграл уравнения (1) имеет вид

или , (3)

где С- произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию u(x,y), воспользуемся равенствами

и (4)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию u(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции

, (5)

где - первообразная от M(x,y).

Дифференцируя (5) по y с учетом второго равенства из (4), получаем уравнение для определения функции

Пример 1. Решить уравнение

Решение: В данном случае

,

,

Таким образом, , т.е. левая часть данного уравнения действительно является полным дифференциалом некоторой функции .

Для искомой функции имеем:

, .

Из первого уравнения получим:

Для определения функции дифференцируем последнее равенство по y:

+ ,

т.е. . Отсюда

Поэтому

Решения уравнения запишутся в виде

То же самое можно получить более просто, используя формулу (3) беря x_o=y_o=0. Действительно, имеем

Замечание. Формула (3) есть не что иное, как вычисление криволинейного интеграла по координатам

где точки M_o(x_o,y_o) и M(x,y) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций M(x,y) и N(x,y) и их частных производных, причем, M_o(x_o,y_o) – некоторая фиксированная точка. В формуле (3) этот путь состоит из двух прямых, параллельных осям OX и OY, соединяющим точки M_o(x_o,y_o), M(x,y_o) и M(x,y_o), M(x,y).

Пример 2. Решить уравнение

Решение: В данном случае

,

т.е. левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Искомую функцию определим из соотношения . Имеем:

Отсюда . Таким образом, ,

,

Поэтому

Все решения исходного уравнения определяются из соотношения

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации.

Пример 3. Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде

Нетрудно заметить, что это уравнение в полных дифференциалах.

Решить его можно и так:

Следовательно, - есть общий интеграл исходного уравнения.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Здесь , т.е. условие(2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение можно привести к виду непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Очевидно, что , ,

Поэтому уравнение можно записать в виде

или

Следовательно,

есть общий интеграл данного уравнения.

Задачи

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

.