§2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида:
(1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Если в точке y = Co, g(Co) = 0, то функция y = Co является решением уравнения (1).
Разделяя переменные (путем деления на g(y)), мы получим, что решения уравнения (1) (вдоль которых g(y) ≠ 0), удовлетворяют соотношению
(2).
.
Уравнения вида
,
(3)
где a,b,c-постоянные,
заменой переменных
приводятся
к уравнению с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, записанное в дифференциалах, имеет вид
φ1(x)ψ1(y)dx + φ2(x)ψ2(y)dy = 0 (5)
В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y. Путем деления на ψ1(y)φ2(x) оно приводится к уравнению с разделенными переменными:
(6)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Замечание. Деление на
может привести к потере частных решений
y =Co,
таких, что
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Представим данные уравнения
в виде:
.
Разделив обе части уравнения на
произведение
(заметим,
что
≠
0), получим уравнение с разделёнными
переменными
.
Интегрируя полученное уравнение, последовательно получим:
,
,
.
Отсюда
-
общий интеграл данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Перепишем данное уравнение в
виде
.
Функции y = 0 и y
= -2 являются решениями уравнения (
).
Остальные решения найдем, разделив
переменные в уравнении и проинтегрировав
его:
,
,
,
,
,
C ≠ 0.
Поскольку ранее найденное решение
y = 0 можно получить из последнего соотношения, положив
C = 0, то
или
.
Ответом задачи будут являться это решение и полученное ранее y = -2.
Пример 3. Найти решение задачи Коши.
Решение: Имеем
.
Разделяя переменные, получим
.
Проинтегрировав правую и левую части,
найдем:
,
.
Из условия y(0)=1 будем
иметь
,
откуда
.
Подставляя найденные значения C, получим частное решение (решение задачи Коши)
,
,
откуда
.
Из начального условия следует, что y>0,
т.к. y(0)=1>0. Поэтому
перед корнем берем знак плюс. Таким
образом, решение задачи Коши имеет вид
.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение: Данное уравнение приводится
к уравнению с разделяющимися переменными,
если положить
.
Имеем
,
.
Одно решение последнего уравнения
очевидно: z = -2, т.к. z
+ 2 = 0. Находим остальные его решения,
разделяя переменные и интегрируя
,
,
,
С ≠ 0.
Решение. z = -2 можно
получить из последнего соотношения
при C = 0, поэтому
.
Окончательно
или
.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение. Замена
приводит
это уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными
,
,
.
Функции z = 2πk, k – целое число (cos z =1) являются решениями последнего уравнения. Остальные его решения получаются путем разделения переменных и интегрирования
.
Отсюда
,
,
,
n – целое число. Таким
образом
,
окончательно
и
.
Пример 6. Найти частные решения
уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям:
а)
;
б)
.
Решение: Функция
(решение
уравнения
)
является решением уравнения. Остальные
решения найдем, разделив переменные в
уравнении и проинтегрировав его:
После потенцирования получим:
или
Поскольку ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив С=0, окончательно получим:
,
,
что является общим решением исходного
уравнения.
а) Положим
,
тогда
,
откуда С=1. Исходное частное решение
.
б) Полагая в общем решении
,
,
будем иметь
,
откуда С=0. Тогда искомое решение
задачи Коши примет вид
.
Задачи
Найти решение уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
