§3. Однородные дифференциальные уравнения
Функция f (x,y)
называется однородной степени n
относительно переменных x
и y, если при любом
допустимом
справедливо тождество
.
Например, функции
являются
однородными степени 0, 0, 2, k
соответственно. Дифференциальное
уравнение
называется
однородным, если f
(x,y)
– однородная функция степени нуль,
т.е.
для всех
.
Уравнение
является
однородным, если
и
есть
однородные функции одной и той же
степени.
Замена
приводит
однородное уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными.
К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
(1)
Это достигается линейной заменой
,
,
где
и
есть решение системы линейных уравнений
, (2)
если эта система имеет единственное решение.
В этом случае получаем однородное
уравнение
.
В случае, когда система (2) не имеет
решений, то тогда
и
уравнение (1) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными путем замены
.
Пример 1: Решить уравнение
Решение. Данное уравнение является
однородным. Положив
,
получим
,
,
,
,
,
-
общий интеграл.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Введем замену
.
Имеем
или
,
.
Интегрируя, получим:
,
Отсюда общее решение:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение однородное. Замена переменных приводит к уравнению
,
или
,
где
.
Очевидно, что функции
и
есть решения уравнения. Другие его
решения найдем, разделяя переменные и
интегрируя
,
.
Заменяя
на
,
получим общее решение:
.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение: Решаем систему линейных
уравнений
,
получаем:
Введем замену
,
получим однородное уравнение
Пусть
,
тогда
,
.
Разделяя переменные и интегрируя
получим:
,
,
,
Потенцируя, получим
,
При разделении переменных мы могли
потерять решение
,
но при С=0 оно получается из общего
решения. Возвращаясь к переменным x
и y, получаем общее
решение:
или
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
, (1)
где
-
заданные функции от x,
непрерывные в той области, в которой
требуется проинтегрировать уравнение.
Если
,
то уравнение (1) называется однородным.
Оно является уравнением с разделяющимися
переменными и имеет общее решение в
виде
(2)
Уравнение вида
(3)
Называется уравнением Бернулли.
При
это
уравнение является линейным.
Заметим, что при
является
решением уравнения Бернулли. Оно может
потеряться при указанном ниже способе
нахождения общего решения уравнения
(3).
Решение уравнения Бернулли (3) ищем в
виде
.
Имеем:
Выберем в качестве
одно
из ненулевых решений уравнения
.
Например, (см.(2))
(4)
Тогда
находим
из уравнения
(5)
Перемножая на , получим общее решение уравнения Бернулли.
Уравнение
y' + a(x)y2 + b(x)y + c(x) = 0 (6)
называется уравнением Риккати. Это уравнение в общем случае не решается в квадратурах (т.е. решение нельзя выразить в виде формулы, содержащей элементарные функции и интегралы от них). Если известно одно частное решение y = y1(x), то заменой
y = y1 + z (7)
уравнение Рикатти сводится к уравнению Бернулли.
Замечание. Вместо подстановки (7) часто бывает практически более выгодна подстановка y = y1(x) + 1/z(x), которая сразу приводит уравнение Риккати (6) к линейному уравнению
z' - (2a(x)y1(x) + b(x))z = a(x).
Замечание. При решении уравнения
Бернулли для удобства, деля на коэффициент
при
,
мы добиваемся того, чтобы коэффициент
при
был
равен 1.
Пример 1. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение является
линейным. Деля обе части уравнения на
x, получаем:
.
Ищем решение этого уравнения в виде
произведения двух функций
.
Имеем
Выберем функцию из уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными
и его частное решение найдем по формуле
(4).
Подставим
в уравнение, получаем:
,
т.е.
.
Следовательно, все решения исходного
уравнения определяются формулой
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Его решение найдем в виде .
,
Примем за v какое либо
решение уравнения
,
например,
(см.(4))
Тогда после подстановки
получаем
уравнение
,
или
.
Одно из решений этого уравнения есть u
= 0 или y = 0 (это решение
надо было сразу выделить, поскольку
,
см. замечание выше). Остальные решения
найдем, разделяя переменные и интегрируя
,
,
,
,
Решениями исходного уравнения будут:
y = 0 и
Пример 3. Решить уравнение
y' + ay(y-x) = 1.
Решение. Имеем y' – axy + ay2 =1. Данное уравнение является уравнением Риккати. Нетрудно заметить, что y = x является решением этого уравнения. Поэтому замена y = x + z приводит его к уравнению Бернулли:
z' + a(x + z)z = 0, z' + axz = -az2.
Положив z = uv, имеем
u'v + uv' + axuv = -au2v2
Возьмем в качестве v(x) одно из решений уравнения
v'+ axv = 0,
Например,
,
Тогда u(x) определим из уравнения
Поэтому общее решение имеет вид:
и y = x.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y. Нормальный вид такого уравнения
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Данное уравнение является
линейным, если рассматривать x
как функцию от y . Получаем
(используя формулу для производной
обратной функции
=
1/
):
,
.
Положив x = u(y)v(y), имеем:
.
Возьмем в качестве
одно из ненулевых решений уравнения
,
например (см. (4))
.
Тогда уравнение для
,
или
.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
.
Итак, общее решение уравнения будет иметь вид:
Пример 5. Решить задачу Коши:
Решение: Деля на
ищем
общее решение уравнения
(1*)
в виде . Имеем
.
Подставляя выражения для
и
в (1*), получим
или
(2*)
Функцию
находим
из условия
,
беря частное решение в виде (см.(4))
Подставляя
в
(2*), после упрощения получаем уравнение
,
из которого находим функцию
;
Следовательно, общее решение уравнения (1*) будет
Используя начальное условие:
,
получаем для нахождения С уравнение
,
откуда
С = 0. Итак, решением поставленной
задачи Коши будет
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
.
Указание: частное решение искать
в виде
.
и
.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
частное
решение.
32.
- частное решение.
33.
частное решение.
