Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков

§7. Общие понятия и определения

Уравнение вида

, (1)

где - независимая переменная, - искомая функция, а функция определена и непрерывна в некоторой области пространства переменных , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Дифференциальное уравнение n –го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

, (2)

где функция также предполагается непрерывной в некоторой области D изменения своих аргументов

.

Решением уравнения (2) на интервале (a,b) называется функция , удовлетворяющая условиям:

1) n раз непрерывно дифференцируема на (a,b),

2) точка принадлежит области D при ,

3) обращает уравнение (2) в тождество, т.е.

Аналогично определяется решение уравнения (1).

Задачей Коши для уравнения (2) называется задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям:

(3)

где - заданные числа.

Имеет место следующая теорема существования и единственности решения уравнения (2).

Теорема. Если функция непрерывна в области D, то для любой точки этой области существует решение уравнения (2), определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям (3). Если кроме того, функция

имеет ограниченные частные производные в области D, то такое решение будет единственным.

Общим решением дифференциального уравнения

n-го порядка (2) в области D (где выполняются условия предыдущей теоремы) называется n- параметрическое семейство функций

(4)

такое, что

1. при любых допустимых значениях постоянных С₁, C₂, …, C_n функция является решением дифференциального уравнения (2).

2. Каковы бы ни были начальные условия (3) (лишь бы точка принадлежала области D), можно подобрать такие значения постоянных

, что решение

будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением. Его график – кривую на плоскости XoY – называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Если общее решение (4) в области D задано неявно соотношением

, (5)

то (5) называется общим интегралом уравнения (2) в области D.

Если общее решение задано в виде

, (6)

То (6) называют общим интегралом в параметрической форме.

§8. Некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

Уравнение вида

(1)

имеет общее решение в форме

.

Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида

(2)

С помощью замены , где u-новая неизвестная функция, уравнение(2)приводится к уравнению (n-k)-го порядка.

(3)

б) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x.

Рассмотрим уравнение вида

, (4)

С помощью замены

(5)

где p=p(y) – новая искомая функция, y-новая независимая переменная, порядок уравнения (4) понижается на единицу. Все производные выражаются через производные от функции p по y:

и так далее.

в) Уравнения (6)

однородные относительно аргументов , т.е.

С помощью замены

(7)

где u- новая неизвестная функция, порядок уравнения (6) понижается на единицу. В этом случае: , и так далее.

После нахождения общего решения u=φ(х,С₁,…,С_n-1) и подстановки его в (7), получим общее решение исходного уравнения (6)

(8)

Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Интегрируя последовательно данные уравнения, имеем:

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Уравнение относится к типу, рассмотренному в пункте а) (оно также относится к типу, рассмотренному в пункте б), но в таких случаях нужно искать решение как в п. а), поэтому полагаем . После этого уравнение примет вид

Разделяя переменные и интегрируя, найдем ,

Решая это уравнение найдем

Интегрируя последовательно, будем иметь

и Это и есть общее решение исходного уравнения.

Замечание 1: Уравнение вида

(9)

Оно принадлежит к уравнениям рассмотренным в п.б) и заменой приводится к уравнению второго порядка

(10)

Если уравнение (10) разрешено относительно :

, (11)

то умножая (11) на интегрирующий множитель приходим к уравнению или

далее получаем , откуда находим общий интеграл уравнения (11)

Замечание 2: При решении задачи Коши целесообразно находить значения постоянных по ходу их появления, а не после нахождения общего решения.

Пример 3. Найти решение задачи Коши:

(1*)

Решение. Это уравнение относится к типу, рассмотренному в замечании 1. Из (1*), учитывая, что y>0, получим:

(2*)

Умножая (2*) на интегрирующий множитель получим:

, откуда ,

, (3*)

Постоянную С₁ находим из начальных условий. Подставив в (3*) ,получим, что и значит . Поскольку ,то отсюда следует, что . Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь , (4*)

Учитывая начальные условия, из (4*) получим . Поэтому . Это и есть решение исходной задачи Коши.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Уравнение не содержит исходной функции и её производной (пункт а)). Положив где u – новая неизвестная функция, получим:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные при и интегрируя, получим

, ,

, , откуда

.

Интегрируя находим:

где – произвольные постоянные

рассмотрим случаи и .

Имеем: , откуда ,

, откуда ,

где – производные постоянные. Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти функции также являются решениями данного уравнения.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

Решение. Данное уравнение не содержит независимой переменной х (пункт б)). Положим , где - новая неизвестная функция. Тогда относительно получим

уравнение (1*)

Функция или есть решение данного уравнения, но не решения задачи Коши. Поэтому в (1*) разделяя переменные и интегрируя будем иметь , ,

откуда , (2*)

Постоянную С найдем, используя начальные условия. Поскольку , то из (2*) следует, что . Значит . Учитывая замену, получим , , (3*)

Из (3*), учитывая начальные условия, найдем . Поэтому решение задачи Коши имеет вид

.

Пример 6. Решить уравнение

Левая часть уравнения – однородная функция относительно переменных , так как

Сделаем замену , , где - новая неизвестная функция:

, .

Функция , очевидно, является решением. При имеем , откуда для функции и получаем линейное уравнение первого порядка

Решая его (см§3) получим общее решение этого уравнения: . Учитывая замену: , ( см. (8) )

Получим

Это общее решение исходного уравнения.

Решение получается при

Пример 7. Решить задачу Коши

Решение.

Данное уравнение (1*) принадлежит к типу (9) (см. замечание 1) и к типу, рассмотренному в п.б). Будем его решать, полагая , получаем , откуда , или .

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

(3*).

В правой части равенства (3*) имеем эллиптический интеграл, который не интегрируется, т.е. его нельзя выразить в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако если использовать начальные условия (см. замечание 2), то получим: ,

,

Так что , учитывая начальные условия, окончательно находим .

Задачи

Найти общее решение следующих уравнений. Где указано, найти решение задачи Коши, предварительно решив вопрос о его существовании и единственности.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.