2. Формулы Ньютона – Котесса

2.1. Формулы метода прямоугольников

Заменим подынтегральную функцию на каждом элементарном отрезке константой или и вместо вычисления площади криволинейной трапеции ограничимся площадью прямоугольника (см. рис. 5а) или (рис. 5б).

Рис.5а Метод левых прямоугольников.

Рис.5б. Метод правых прямо-

угольников.

Соответствующие площади могут быть вычислены по формулам

		(5а)
	,	(5б)

где введено обозначение .

Поскольку

,

то для интеграла в пределах от до запишем

(6а)

или

(6б)

Оценим погрешность формул (6). Для этого на каждом промежутке разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора

В результате имеем

(7а)

или

(7б)

Полученные формулы называют формулами прямоугольников левых (7а) и правых (7б). Обе они имеют первый порядок точности.

2.2. Формула трапеций

Этот метод основан на линейной аппроксимации интегрируемой функции между каждыми соседними точками и (рис. 6). В этом случае имеем

(8)

Рис.6 Метод трапеций.

Погрешность формулы (8) оценим, разлагая величину f_i в ряд Тейлора в точке x_i-1 . После суммирования формул (8) по всему отрезку, получим

.

(9)

Как и следовало ожидать формула трапеций (9) является более точной по сравнению с формулами прямоугольников.

2.3. Формула Симпсона (формула парабол)

Представляется совершенно очевидным, что если в качестве аппроксимирующей подынтегральной функции взять кривую более старшего порядка, например, параболу, то при одинаковых значениях h погрешность вычисления интеграла будет меньше, чем дает формула трапеций. Разумеется, для построения параболы требуется использовать три точки (см. рис. 7). Запишем для отрезка

.

(10)

Тогда для всего отрезка легко получить следующую формулу

		(11)

Погрешность этой формулы, называемой формулой парабол или Симпсона, равна

где

(12)

На практике очень часто требуется вычислить интеграл с заданной погрешностью . Для этого организуют процесс с автоматическим выбором шага. Задают произвольное количество узлов на отрезке интегрирования N. Вычисляют шаг интегрирования по формуле (4). По любой из квадратурных формул вычисляют значение интеграла I(h). Затем шаг интегрирования уменьшают в два раза, при этом количество узлов увеличивается в два раза, и вновь вычисляют значение интеграла I(h/2). Сравнивают эти значения. Если они отличаются более чем на , то процедуру уменьшения шага продолжают до тех пор пока, значения интеграла при двух значения шага h и h/2 не будут отличаться друг от друга на величину

Задание

Вычислить интеграл по формуле Симпсона с автоматическим выбором шага h с погрешность .

Варианты заданий

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.

6. 15.

7. 16.

8. , _17. ,

9. , 18.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Несобственный интеграл 1-го рода

Пусть требуется вычислить несобственный интеграл 1рода с погрешностью .

(1)

Существует несколько способов вычисления таких интегралов.

Первый способ: делаем такую замену переменных, чтобы превратить бесконечные пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла (1) замена превращает полупрямую в отрезок [0, 1]. Если после преобразования подынтегральная функция вместе с некоторым числом производных остается ограниченной, то можно находить интеграл стандартными численными методами (по формулам Ньютона-Котеса).

Второй способ: представим (1) в виде

(2)

где b выбираем таким, чтобы выполнялось условие

(3)

Используя (3), можно сделать оценку b. Первый интеграл в (2) вычисляем по одной из квадратных формул. Так как вблизи верхнего предела подынтегральная функция мала, поэтому вычисление выгодно вести по квазиравномерной сетке, увеличивая шаг при .

Например, требуется вычислить интеграл

с точностью . Выбираем b таким, чтобы выполнялось неравенство

Так как

следовательно, имеем . Поэтому приближенно полагаем

и вычисляем последний интеграл численно с погрешностью .