Задание

1. Методом Рунге-Кутта (2-го или 4-го порядка точности) найдите решение системы дифференциальных уравнений на отрезке при начальных условиях с шагом . Шаг выбрать самостоятельно. Численные решения представьте графически. Сравните с аналитическим решением, если его можно найти.

Варианты заданий

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

2. Решить уравнения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 8. ;

9. ; 10.

Лабораторная работа № 6 краевая задача. Метод стрельбы

1. Постановка задачи

Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной

(1)

Будем искать решение этого уравнения на отрезке [0,1], учитывая, что любой отрезок [a,b] с помощью замены переменной t=(x-a)/(b-a) можно привести к данному. Граничные (или краевые) условия на концах рассматриваемого отрезка зададим в виде

(2)

2. Метод стрельбы

Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения краевой задачи (1), (2) к решению задач Коши для того же уравнения (1) с начальными условиями

(3)

Здесь точка А - точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой интегральной кривой , а - угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке (рис. 7) ( - свободный параметр, который в конечном счете необходимо определить).

Если задать параметр , то решение задачи Коши (1), (3) можно найти, используя, например, методом Рунге-Кутта. Очевидно, что для разных значений угла наклона получаются разные решения , т.е. интегральную кривую можно считать зависящей от параметра .

Наша цель: варьируя , найти такую интегральную кривую , которая выходит из точки с координатами (О, А) и попадает в точку (1, В) (рис. 7). (Вспомните геометрический смысл краевой задачи и задачи Коши). Таким образом, только при _* решение задачи Коши (1), (3) совпадает с искомым решением краевой задачи (1), (2). Рассмотрим более детально способ подбора . Решая задачу (1), (3), мы находим значение интегральной кривой в точке , . Учитывая теперь второе граничное условие (2), потребуем, чтобы выполнялось условие

(4)

Рис. 7 Метод стрельбы.

т.е. получаем уравнение вида , где .

Таким образом, задача сводится к поиску корня _* функции . Уравнение (4) отличается от привычной записи тем, что функцию нельзя представить в виде некоторого аналитического выражения, поскольку она является численным решением задачи Коши. Тем не менее, для решения нелинейного уравнения (6.4) может быть использован любой из рассмотренных ранее методов.

Воспользуемся методом дихотомии. Вначале найдем отрезок , содержащий _*, т.е. решая задачу Коши с и , находим значение и , которые удовлетворяют условию

Далее, полагая , снова решаем задачу Коши (1), (3) при и в соответствии с методом деления отрезка пополам отбрасываем один из отрезков: или , в зависимости от того, на каком из них функция не меняет знак. Деление оставшегося отрезка продолжается до тех пор, пока не выполнится условие, что при k-том делении

или .

(5)

Здесь - погрешность решения уравнения (4), т.е. погрешность “попадания” в точку (1,В).

Полученное решение задачи Коши с и будет искомым решением краевой задачи (1), (2) .

Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправдано, поскольку в нем как бы проводится “пристрелка” по углу наклона интегральной кривой в точке. Следует отметить, что этот алгоритм хорошо работает в том случае, если решение не слишком чувствительно к изменению . В противном случае мы можем столкнуться с неустойчивостью алгоритма.

Существуют и другие алгоритмы метода стрельбы. В частности, одним из самых надежных является алгоритм, использующий при решении уравнения (4) метод Ньютона. Он состоит в следующем. Пусть - начальное приближение , причем искомое значение . Решая задачу Коши при , находим значение . Тогда можно записать разложение в ряд Тейлора с сохранением только линейных по членов

Учитывая, что , находим

(6)

Производную в знаменателе этого выражения можно найти численно

(7)

.

Здесь - произвольное малое возмущение . Для вычисления правой части (6.6) нужно решить задачу Коши при и найти . Затем по формуле (6.6) можно найти поправку , а следовательно и следующее приближение параметра

(8)

и т.д. Этот итерационный процесс (6) -(8) продолжается до тех пор, пока не будут выполняться условия (5). Решение задачи Коши с - искомое решение.