Лабораторная работа № 8 системы линейных уравнений

1. Постановка задачи

Одним из способов решения системы линейных уравнений является метод прогонки. Это модификация метода Гаусса для частного случая разреженных систем - системы уравнений с трех диагональной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений.

Запишем систему алгебраических уравнений в виде:

(1)

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы b₁,b₂,…,b_n; над ней - c₁,c₂,…,c_n-1; под ней - a₂,a₃,…,a_n. При этом обычно все коэффициенты b_i не равны нулю.

2. Метод прогонки

Метод прогонки состоит из двух этапов - прямой прогонки (аналога прямого хода метода Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода метода Гаусса). Прямая прогонка состоит в том, что каждое неизвестное x_i выражается через x_i+1 с помощью прогоночных коэффициентов A_i, B_i :

xi = Ai xi+1 + Bi , i=1, 2,…,n-1.

(2)

Из первого уравнения системы (1) выразим x₁ через x₂:

x1= -(c1/b1)x2+d1/b1 .

С другой стороны, по формуле (2) x₁=A₁x₂+B₁. Сравнивая эти соотношения, получаем выражения для прогоночных коэффициентов:

A1 = -c1/b1 ; B1=d1/b1 .

(3)

Используя формулу (2) для x₁, получим выражение для x₂

	a2 (A1x2 + B1 ) + b2 x2 + c2 x3 = d2 .
	,

или

, ; ; .

Аналогично можно вычислить прогоночные коэффициенты для любого индекса i=2,3,…,n-1:

; ; .

(4)

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных x_i. Сначала нужно найти x_n. Для этого воспользуемся выражением (2) при i=n-1 и последним уравнением системы (1):

, .

Исключая x_n-1 из этих выражений, находим:

.

(5)

Далее, используя формулы (2) и выражения для прогоночных коэффициентов (3), (4), последовательно вычисляем все неизвестные x_n-1 , x_n-2, …, x₁.

При анализе алгоритма метода прогонки надо учитывать возможность деления на ноль в формулах (4). Можно показать, что при выполнении условия преобладания диагональных элементов, т.е. если

,

(6)

(хотя бы для одного значения должно иметь место строгое неравенство), деление на нуль не возникает, и система (1) имеет единственное решение.

Приведенное условие преобладания диагональных элементов (6) обеспечивает также устойчивость метода прогонки относительно погрешностей округления. Последнее обстоятельство позволяет использовать метод прогонки для решения больших систем уравнений. Заметим, что данное условие устойчивости прогонки (6) является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем вида (1) метод прогонки оказывается устойчивым даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.