3. Пример
В табл. 1.2 даны “измерения” yi , полученные путем добавления к функции f(x)=2x-x2 отклонений i ,взятых из таблиц случайных чисел. При x<1 выбраны средние отклонения i 0.2 , при x>1 выбраны i 0.4, моделирующие измерения грубым прибором.
Таблица1.2
xi |
0.0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
yi |
0.025 |
0.184 |
0.623 |
0.476 |
0.817 |
0.933 |
0.597 |
1.113 |
0.728 |
1.245 |
wi |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
xi |
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
2.0 |
yi |
0.019 |
1.245 |
0.647 |
1.881 |
0.742 |
0.048 |
0.418 |
0.734 |
-0.026 |
-0.312 |
wi |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Требуется по этим данным определить параметры зависимости: y=a1 +a2x +a3x2. Поскольку a priori известно, что при x<1 измерения в среднем вдвое точнее, припишем им веса wi=4 (см. табл.1.2).
Положим f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x2, p=3, n=20.
Выполним необходимые вычисления, получим:
,
,
,
b1=0.069, b2=1.991, b3=-1.043,
D1=0.16, D2=0.43, D3=0.23, Rmin = 4.08,
E1 = … = E10 = 0.24, E11 = … = E20 = 0.48.
На рис. 8 представлены результаты. Видно, что первоначальная зависимость восстановлена практически точно, несмотря на значительные отклонения отдельных измерений и малое число экспериментальных точек. Отклонения найденных коэффициентов bk от их точных значений оказались существенно меньше, чем вычисленные погрешности Пk. Можно утверждать, что из имеющихся экспериментальных данных нельзя получить более точные оценки для ak, чем найденные выше методом МНК. Для уточнения коэффициентов необходимо провести более точные измерения (уменьшить i), или увеличить количество измерений n. Заметим, что неизвестные заранее отклонения i нам удалось оценить с погрешностью всего 20%.
Задание
1. Напишите программу для обработки указанного преподавателем набора экспериментальных данных. Выберите веса и выполните необходимые вычисления на ЭВМ. Запишите в тетрадь результаты обработки вашего варианта: матрицу C, вектор Fm, матрицу C-1, коэффициенты bk, остаточную сумму квадратов Rmin, погрешности Dk и i. Выберите доверительную вероятность и найдите доверительные интервалы для ak. Постройте графики f(x) и fi(x).
2. Сократите выборку вашего варианта, отбросив около половины экспериментальных точек, по вашему выбору. Взяв оставшиеся экспериментальные точки в качестве исходной информации, проведите обработку на ЭВМ и запишите в тетрадь найденные bk и Пk. Сравните с результатами предыдущего пункта и с точными значениями.