1.3.2. Функції

Аналіз алгебри даних показує, що в мові SIPL можна вирізнити два види функцій: 1) n-арні функції на базових типах даних, 2) функції над станами змінних. Другий вид функцій будемо називати номінативними функціями. Назва пояснюється тим, що вони задані на наборах іменованих даних (латинське nomen – ім’я).

Визначимо тепер наступні класи функцій, які будуть задіяні при визначенні семантики мови SIPL:

1. n-арні операції над базовими типами:

• FNA=Intⁿ  Int – n-арні арифметичні функції (операції);

• FNB=Boolⁿ  Bool – n-арні булеві функції (операції);

• FNAB=Intⁿ  Bool – n-арні функції (операції) порівняння.

2. Функції над станами змінних

• FA=State  Int – номінативні арифметичні функції;

• FB=State  Bool – номінативні предикати;

• FS=State  State – біномінативні функції–перетворювачі (трансформатори) станів.

Для операцій мови SIPL зазвичай n=2, а для булевої операції заперечення n=1.

Рисунок 1.3. Алгебра даних мови SIPL

1.3.3. Композиції

Нагадаємо, що композиції формалізують методи побудови програм. Аналіз мови SIPL дає підстави говорити про те, що будуть вживатися композиції різних типів, а саме:

• композиції, які пов’язані з номінативними функціями та предикатами;

• композиції, пов’язані з біномінативними функціями.

Перший клас композицій використовується для побудови семантики арифметичних виразів та умов, другий – операторів.

Цей клас композицій складається із композицій суперпозиції в n-арні функції, які задані на різних основах (класах функцій):

• суперпозиція номінативних арифметичних функцій в n-арну арифметичну функцію має тип Sⁿ: FNAFAⁿFA;

• суперпозиція номінативних арифметичних функцій в n-арну функцію порівняння має тип Sⁿ: FNABFAⁿFB;

• суперпозиція номінативних предикатів в n-арну булеву функцію має тип Sⁿ: FNBFBⁿFB.

Зауваження 1.5. Суперпозиції різного типу позначаємо одним знаком.

Суперпозиція задається формулою

(Sⁿ(f, g₁,…,g_n ))(st)=f(g₁(st),…,g_n(st)),

де f – n-арна функція, g₁,…,g_n – номінативні функції відповідного типу.

Другий клас композицій складається з наступних композицій.

• Присвоєння AS^x: FA  FS (x – параметр).

Присвоєння задається формулою:

AS^x (fa)(st)=st [x fa(st)].

• Послідовне виконання  : FS²FS

Послідовне виконання задається формулою:

(fs₁fs₂)(st)=fs₂(fs₁(st)).

• Умовний оператор (розгалуження): IF:FBFS²FS. Задається формулою:

• Цикл (ітерація з передумовою): WH:FBFSFS. Задається рекурентно (індуктивно) наступним чином:

WH(fb,fs)(st)=st_n,

де st₀=st, st₁=fs(st₀), st₂=fs(st₁),…, st_n=fs(st_n-1), причому

fb(st₀)=true, fb(st₁)=true,…, fb(st_n-1)=true, fb(st_n)=false.

Важливо відзначити, що для циклу наведена послідовність визначається однозначно. Позначимо число n (кількість ітерацій циклу) як NumItWH((fb, fs), st). Однозначність визначення n дозволяє розглядати NumItWH((fb, fs), st) як тернарне відображення, яке залежить від fb, fs, st. Якщо цикл не завершується, то NumItWH((fb, fs), st) вважається невизначеним. Це відображення буде використовуватись в індуктивних доведеннях властивостей циклу.