5.7.2. Семантика мов програмування

У першому розділі посібника семантика програм мови SIPL задавалась функціями програмної алгебри

A_Prog =<FNA, FNB, FNAB, FA, FB, FS; Sⁿ, AS^x, , IF, WH, x, id >.

Програми мови SIPL не є рекурсивними, але легко зробити таке її розширення, яке буде мати рекурсивні функції та процедури (це буде зроблено трохи пізніше). Тому здається вірогідним, що класи часткових функцій алгебри A_Prog (класи FA, FB, FS) є -областями, а композиції, задані на цих класах, – неперервними. Це, дійсно, так.

Доведемо більш загальний результат. Нехай D, R – деякі множини даних, а – клас часткових функцій, заданих на цих множинах. Введемо на F відношення часткового порядку , вважаючи, що для функцій f,g F

fg .

Якщо використовувати графіки функцій, то можна записати, що

fg .

Очевидно, що так введене бінарне відношення є, дійсно, відношенням частково порядку. Найменшим елементом буде всюди невизначена функція, для якої залишимо позначення .

Супремумом ланцюга функцій буде функція f= , графік якої є об’єднання графіків функцій ланцюга, тобто . Неважко переконатися, це об’єднання є функціональним бінарним відношенням. Дійсно, нехай . Це означає, що

,

.

Якщо , аналогічно розглядається випадок .

Тобто f є, дійсно, функцією. Це говорить про повноту F.

Таким чином, доведено наступне твердження.

Лема 5.13. Множина часткових функцій із D в R є -область відносно введеного часткового порядку.

Зауважимо відмінність цієї леми від лем 5.7 та 5.9, які говорять про класи тотальних функцій, частковий порядок на яких індукується частковим порядком на їх областях визначення та значень. У лемі 5.3 говориться про клас часткових функцій, визначених на довільних множинах, які не обов’язково є -областями. В зв’язку з цим класи n-арних тотальних функцій FNA, FNB, FNAB не підпадають під дію леми 5.13.

Застосовуючи лему 5.13 до наступних класів (основ алгебри) часткових функцій алгебри A_Prog: FA, FB, FS, отримуємо, що ці основи є -областями.

Доведемо тепер, що композиції Sⁿ, AS^x, , IF, WH, x, id алгебри A_Prog є неперервними.

Це очевидно для нуль-арних композицій (функцій) x і id, які не мають функцій-аргументів.

Лема 5.14. Композиція суперпозиції Sⁿ номінативних функцій у n-арну функцію неперервна за номінативними функціями-аргументами.

Доведення. Нехай f – n-арна функція, g₁,…,g_n – номінативні функції типу FA, – ланцюг функцій з FA, stState. Нагадаємо, що:

Sⁿ(f, g₁,…,g_n ))(st)=f(g₁(st),…,g_n(st)).

Доведемо неперервність суперпозиції за першим аргументом типу FA, тобто доведемо, що Sⁿ(f, ,…,g_n )= Sⁿ(f, ,…,g_n ).

Нехай Sⁿ(f, ,…,g_n ))(st)=r. Отримуємо наступну послідовність еквівалентних перетворень:

Sⁿ(f, ,…,g_n ))(st)=rf( (st),…,g_n(st))=r

k(f(f_ake(st),…,g_n(st))=r Sⁿ(f, ,…,g_n )(st)=r.

Наведені перетворення спираються на той факт, що

(st)=r  k(f_ake(st)(st)=r. _▄

Аналогічним чином доводиться наступне твердження.

Лема 5.15. Композиція присвоєння AS^x – неперервна.

Доведемо неперервність послідовного виконання.

Лема 5.16. Композиція послідовного виконання – неперервна.

Доведення. Щоб довести неперервність композиції , нам потрібно довести неперервність за кожним аргументом. Доведемо лише неперервність за першим аргументом, тобто, що для довільного ланцюга функцій з FS. Маємо, що

. _▄

Лема 5.17. Композиція – неперервна.

Доведення. Щоб довести неперервність композиції , нам потрібно довести неперервність за кожним аргументом. Розглянемо лише доведення неперервності за одним аргументом, оскільки за іншими вона доводиться аналогічно. Нагадаємо, що

Розглянемо перший випадок: . Тоді

. _▄

Другий випадок ( ) є більш простим.

Для доведення неперервності композицій ітерації (циклу) спочатку покажемо, що ітерація функцій є найменшою нерухомою точкою певного рекурсивного визначення.

Теорема 5.5. Для композиції циклу виконується наступне співвідношення:

Доведення

Раніше (лема 1.2) було доведено, що є нерухомою точкою рівняння X=IF(fb, fs  X, id), звідки випливає, що . Тому залишилось довести, що .

Попередньо нагадаємо початкове визначення композиції циклу (розділ 1):

WH(fb,fs)(st)=st_n, де st₀=st, st₁=fs(st₀), st₂=fs(st₁), …, st_n=fs(st_n-1), причому fb(st₀)=true, fb(st₁)=true,…, fb(st_n-1)=true, fb(st_n)=false.

Тепер позначимо . Тоді . Також будемо позначати той факт, що обчислення на даному st завершилося з результатом при числі ітерацій, не більше ніж k, тобто NumItWH((p, f), st))k.

Доведемо індукцією за k), що з умови , випливає ( )(st)=st_k. (Усі твердження такого типу вважаються універсально квантифікованими, в даному випадку за st та st_k. )

База індукції (k = 0). З умови , випливає, що st₀=st, та . Оскільки , то за вказаних умов будемо мати, що ( )(st)=st.

Індуктивний крок. З припущення, що індуктивна гіпотеза справедлива для k, доведемо її справедливість для k+1.

Дійсно, нехай . Тоді з леми 1.2 випливає, що та що . За індуктивною гіпотезою маємо, що ( )(f(st))=st_k+1. Звідси випливає, що ( )(st)=st_k+1, бо = і при обчисленні маємо, що

( )(st) = ( )(st) =

= (st) = ( )(f(st))= st_k+1. _▄

Лема 5.18. Композиція – неперервна.

Доведення. Скориставшись доведеними результатами щодо циклу та неперервності композицій послідовного виконання та умовного оператора, отримуємо, що

.

Аналогічним чином доводиться неперервність і за першим аргументом. _▄

Доведені леми про неперервність композицій алгебри A_Prog дозволяють стверджувати, що похідні композиції, які можна визначити в цій алгебрі, також будуть неперервними. (Питання про точне визначення похідних композицій буде розглянуто пізніше.)

Факт неперервності композицій алгебри A_Prog не є випадковим. Має місце наступне твердження.

Твердження 5.1. Програмні композиції (які обчислюються за скінченну кількість кроків) – неперервні.

Доведення ґрунтується на тому факті, що для обчислення значень функцій, побудованих за допомогою програмних композицій, використовується лише скінченна частина (скінченний графік) функцій-аргументів. Деталі доведення тут не наводимо.

Таким чином, найважливіший висновок з теорії ННТ полягає в тому, що семантика мов програмування задається класами функцій, які є -областями, а композиції таких функцій є неперервними операторами. Це дозволяє обґрунтувати коректність використання різних рекурсивних методів для визначення засобів конструювання програм, спираючись на теореми, доведені в теорії ННТ.

Проілюструємо введення рекурсивних визначень функцій для розширення мови SIPL.