4.12. Дерева виводу

Визначення 4.39. Нехай G = (N, Т, Р, S) – контекстно-вільна граматика і S _Gα_{1 G}α_{2 G}... _Gα_n – вивід у G. Будемо називати цей вивід лівостороннім, якщо для кожного i, 0 i<n, можемо записати α_i у вигляді w_iA_iβ_i, α_і+1 – w_iγ_iβ_i, де A_i→γ_i Р, w_i T* і A_i N. Змістовно вивід є лівостороннім, якщо на кожному кроці заміняється найлівіший нетермінал.

Очевидним є наступне твердження.

Лема 4.20. Нехай G = (N, Т, Р, S) – контекстно-вільна граматика. Якщо w L(G)_, то існує лівосторонній вивід w в G.

Визначення 4.40. Для контекстно-вільних граматик кожному виводу вигляду S _Gα_{1 G}α_{2 G}... _Gα_n можна співставити скінченне впорядковане дерево, яке має назву дерева виводу. Вершини дерева відмічені символами алфавіту NТ. Корінь дерева відмічено початковим символом S. Якщо у виводі було застосовано правило S→α, то кожному символу ланцюжка α, на який замінюється символ S на першому кроці виводу, ставиться у відповідність вершина дерева, і до неї проводиться дуга із кореня. Отримані таким чином безпосередні нащадки кореня впорядковані відповідно до їх порядку у ланцюжку α. Для тих із одержаних вершин, що відмічені символами з множини N, робиться аналогічна побудова і т.ін. Кроною дерева виводу називається слово, отримане із термінальних символів, записаних на вершинах при їх обході зліва-направо.

Приклад 4.25. Візьмемо наступну граматику для мови L=L1L2, де L1={aⁿb^mc^m | n,m0} та L2={aⁿbⁿc^m | n,m0}:

SAB | CD | 

A| aA

B| bBc

C| aCb

D| cD

Виводу

SABAbBcaAbBcaAbbBccaAbbbBcccabbbBcccabbbccc

відповідає наступне дерево виводу:

Неважко довести таку лему.

Лема 4.21. Нехай G = (N, Т, Р, S) – контекстно-вільна граматика і w L(G). Тоді існує взаємно-однозначна відповідність між лівосторонніми виведеннями слова w в граматиці G і деревами виводу в граматиці G, кроною яких є w.

Дерево виводу фактично задає клас еквівалентності виводів, які розрізняються лише порядком застосування правил. Тому для задач, для яких порядок застосувань не є важливим, доцільно спиратися на дерева виводу. Крім того, дерева виводу фактично задають структурну організацію ланцюжка, яка є важливою в різних застосуваннях граматик, зокрема, і в семантиці.

4.13. Однозначні та неоднозначні граматики

Визначення 4.41. КВ-граматика називається неоднозначною, якщо існує ланцюжок, котрий має два або більше різних лівосторонніх виводів. Інакше КВ-граматика називається однозначною.

Приклад 4.26. КВ-граматика із прикладу 4.25 неоднозначна. Слово aabbcc має два різних лівосторонніх вивода:

SABaABaaABaaBaabBcaabbBccaabbcc

та

SCDaCbDaaCbbDaabbDaabdDcaabbDccaabbcc

Також неоднозначною є граматика (БНФ) мови SIPL, наведена в першому розділі.

Приклад 4.2. Мова Діка – це мова, що породжена граматикою G_k = ({S} , T , P , S), де k>0, T = {α₁, α₂,…, α_k, b₁, b₂,…, b_k}, а Р складається з продукцій S→SS , S→ε , S→α_iSb_i, 1 i k. Нехай L_k=L(G_k). Зрозуміло, що мова Діка є контекстно-вільною мовою. Можна вважати, що мова Діка – це множина усіх ланцюжків урівноважених дужок k різних типів, де a_i та b_i – це ліва та права дужки для кожного і. Мова Діка є важливою в теорії контекстно-вільних граматик. Вона, зокрема, утворює основу довільної контекстно-вільної мови, тому що будь-яка КВ-мова є гомоморфним образом мови Діка. Наведена граматика не є однозначною. Але наступна граматика , – однозначна.

Визначення 4.42. КВ-мова називається суттєво неоднозначною, якщо кожна КВ-граматика, яка породжує цю мову, є неоднозначною.

Приклад 4.28. КВ-мова L=L1L2 з прикладу 4.25, де L1={aⁿb^mc^m | n,m0} та L2={aⁿbⁿc^m | n,m0} є суттєво неоднозначною. Доведення цього факту наводиться в книзі [1], стор. 234-236.

Неоднозначність є важливим поняттям теорії мов. Якщо граматика, яка використовується для породження мови програмування, є неоднозначною, то це може призвести до її неоднозначної семантичної інтерпретації, що є небажаним явищем.