4.7.3. Лінійно-обмежені автомати

Лінійно-обмежені автомати можуть розглядатися як обмежені машини Тьюрінга, для яких довжина ланцюжка на стрічці завжди лінійно обмежена довжиною вхідного ланцюжка.

Визначення 4.28 Машина Тьюрінга M =(Q, A, #, , q₀, F) називається лінійно-обмеженим автоматом, якщо існує число k, що для будь якого ланцюжка v A* довжини n, з умови #q₀v# |–* #w₁q w₂# (qQ, w_1, w₂ A*) випливає, що |w₁ w₂| kn.

Наведену умову важко перевірити, маючи машину Тьюрінга, тому наведене визначення часто спрощують, вимагаючи, щоб k=1, тобто, щоб голівка машини Тьюрінга не могла записувати нові символи за межами вхідного ланцюжка. Є й інші варіанти визначення лінійно-обмежених автоматів.

Використовуючи методи, наведені в попередньому підрозділі, можемо за лінійно-обмеженим автоматом побудувати еквівалентну породжуючу граматику типу 1, і навпаки, за граматикою типу 1 побудувати лінійно-обмежений автомат. Таким чином, справедливе наступне твердження.

Теорема 4.5. За кожним лінійно-обмеженим автоматом можна побудувати еквівалентну йому породжуючу граматику типу 1, і навпаки, за кожною породжуючою граматикою типу 1 можна побудувати еквівалентний їй лінійно-обмежений автомат.

Говорячи більш просто, теорема стверджує, що клас лінійно-обмежених автоматів еквівалентний класу породжуючих граматик типу 1.

4.7.4. Магазинні автомати

Магазинні автомати (автомати з магазинною пам’яттю, МП-автомати, стекові автомати) широко використовуються в програмуванні, бо дозволяють моделювати різні важливі алгоритми, які пов’язані з компіляцією та інтерпретацією мов програмування, обробки складних структур даних – дерев, списків і т. ін. Такі автомати можна розглядати як обмежені машини Тьюрінга, що мають вхідну стрічку, на якій голівка може тільки читати символи і рухатися тільки в один бік, та робочу стрічку, яку відповідна голівка може обробляти лише з однієї сторони. Як і в попередніх випадках є різні варіанти визначень магазинних автоматів. Наведемо тут просте екстенсіональне визначення, яке разом з тим є еквівалентним іншим визначенням за класом мов, що розпізнаються.

Визначення 4.29. Магазинний автомат – це шістка M =(Q, A, Γ, , q₀, F), де

• Q – скінченна множина станів,

• A – скінченний вхідний алфавіт (QA=),

• Γ – скінченний магазинний алфавіт,

•  – скінченне відношення переходів (скінченне відображення :QAQ*),

• q ₀ – початковий стан із Q,

• F – підмножина фінальних (заключних) станів із Q.

Виконання команди виду (q, a, Z)(p, ) означає, що знаходячись у стані q, та оглядаючи символ a на вхідній стрічці і символ Z у магазині, автомат переходить у стан p, стирає символ a та пересуває голівку до наступного символу на вхідній стрічці, а замість символу Z записує у магазин ланцюжок . Зауважимо, що в інших модифікаціях магазинних автоматів перехід у новий стан може відбуватися без стирання символу із вхідної стрічки (так званий -перехід).

Конфігурацію магазинного автомату можна задати як трійку (q, w, ), де qQ, w A*, *). Відношення безпосереднього переходу |– задається так: (q, aw, Z)|– (p, w, ), якщо команда (q, a, Z)(p, ) належить .

Аналогічно тому, як це робилося раніше, визначаються й інші необхідні поняття, пов’язані з магазинним автоматом: протоколи та мова, що сприймається таким автоматом.

Для нас важливим є наступне твердження.

Теорема 4.6. За кожним магазинним автоматом можна побудувати еквівалентну йому породжуючу граматику типу 2 (контекстно-вільну граматику), і навпаки, за кожною породжуючою граматикою типу 2 можна побудувати еквівалентний їй магазинний автомат.

Зважаючи на те, що синтаксис мов програмування, як правило, задається граматиками типу 2, теорема стверджує, що алгоритми обробки програм можуть базуватися на магазинних автоматах.