4.9. Властивості контекстно-вільних граматик

У цьому підрозділі розглянемо властивості контекстно-вільних граматик (КВ-граматик), зокрема їх еквівалентні перетворення та нормальні форми. Спочатку доведемо лему про еквівалентність граматик щодо бієктивного перейменування нетерміналів.

Лема 4.2 (про перейменування нетерміналів). Нехай задані граматика G=(N, T, P, S) та бієктивне відображення : N N множини нетерміналів N на деяку іншу множину нетерміналів  N  (N  T=). Тоді для граматики G =(N , T, S , P ), де P  – множина правил, отриманих з P заміною нетерміналів N на відповідні нетермінали з N , а S =(S), маємо: L(G)= L(G ).

Для доведення леми слід скористатися тією обставиною, що кожний вивід в одній граматиці має відповідний вивід (шляхом перейменування нетерміналів) в іншій граматиці.

Зрозуміло, що умова бієктивності є суттєвою.

4.9.1. Видалення несуттєвих символів

Продовжимо розгляд очевидних, але важливих перетворень. У деяких випадках КВ-граматика може містити символи та правила, що не вживаються для виводу термінальних ланцюжків.

Приклад 4.18. У граматиці G=({S, A, B}, {a, b, c}, P, S), де P={S→a, S→cS, A→b}, нетермінал A і термінал b не можуть з’явитися в жодному ланцюжку виведення (в жодній словоформі). Таким чином, ці символи не приймають участь у породженні ланцюжків мови L(G) і правила, що їх містять, можна видалити, не змінивши мови L(G).

Визначення 4.31. Нетермінал ANТ назвемо недосяжним у граматиці G=(N, Т, P, S), якщо A не з’являється в жодному вивідному ланцюжку, тобто не існує виводу виду S _G* A, , (NT)*.

Для знаходження недосяжних нетерміналів спочатку визначимо множину досяжних нетерміналів. Ця множина для заданої КВ-граматики G=(N, T, P, S) легко визначається за допомогою наступних індуктивних визначень.

1. R₀={S}.

2. R _i={B є правило A→BβР, що AR _i-1, BN}  R _i-1 (i=1,2, …).

Оскільки множина N є скінченною, а формула для визначення R_i задає монотонне за і відображення, то існує k (k0), що R_k=R_k+1. Інакше кажучи, послідовність R₀, R₁, R₂, … стабілізується на k-му кроці. Покладемо R=R_k.

Множина UR недосяжних нетерміналів задається формулою UR= N\R.

За граматикою G=(N, T, P, S) будуємо граматику G=(N, T, P, S) таким чином:

1. N= NR

2. T= T

3. S=S

4. P= { A→Р |  (RT)*}

Очевидною є наступна лема.

Лема 4.3. Для граматики G'=(N', T', P', S') виконуються наступні властивості:

1. L(G')=L(G) (еквівалентність).

2. Для всіх AN' існують такі ланцюжки  та β із (N'T)*, що S *_G'Aβ (всі нетермінали є досяжними).

Визначення 4.32. Нетермінал AN назвемо непродуктивним в граматиці G=(N, Т, P, S), якщо з A не можна вивести жодного термінального ланцюжка, тобто не існує виводу виду A*_Gt, tT*.

Спочатку визначимо множину продуктивних нетерміналів. Множина продуктивних нетерміналів для заданої КВ-граматики G=(N, T, P, S) легко визначається за допомогою наступних індуктивних визначень.

1. Pr₀={ A є правило A→tР, що tT*}.

2. Pr_i={ A є правило A→Р, що (R _i-1Т)*}  R _i-1 (i=1,2, …).

Оскільки множина N є скінченною, а формула для визначення Pr_i задає монотонне за і відображення, то існує k (k0), що Pr_k=Pr_k+1. Інакше кажучи, послідовність Pr₀, Pr₁, Pr₂, … стабілізується на k-му кроці. Покладемо Pr=Pr_k.

Множина UPr непродуктивних нетерміналів задається формулою: UPr= N\Pr.

За граматикою G=(N, T, P, S) будуємо граматику G=(N, T, P, S) таким чином:

1. N= (NPr){S}

2. T= T

3. S=S

4. P= { A→Р |  (PrT)*}

Очевидною є наступна лема.

Лема 4.4. Для граматики G'=(N', T', P', S') виконуються наступні властивості:

1. L(G')=L(G) (еквівалентність).

2. Для всіх AN'\{S} існують термінальні ланцюжки, що виводяться з A.

Відзначимо, що аксіома S є спеціальним випадком, тому що вона може бути непродуктивною, і разом з тим вона має належати множині нетермінальних символів (за визначенням породжуючих граматик), але в такому випадку множина правил буде порожньою.

До речі, наведений метод побудови множини продуктивних нетерміналів дозволяє дати відповідь на питання, чи є порожньою мова, що породжується граматикою G=(N, T, P, S)?

Відповідь проста: якщо аксіома є продуктивним нетерміналом, то мова непорожня, якщо ж аксіома – непродуктивний нетермінал, то мова – порожня.

Визначення 4.33. Символ ХNТ назвемо несуттєвим у КВ-граматиці G=(N, Т, P, S), якщо в ній немає виводу виду S*wXy*wxy, де w, x, y належать Т*.

З наведеного визначення бачимо, що нетермінал Х – несуттєвий, якщо Х є недосяжним або непродуктивним нетерміналом (крім, можливо, аксіоми). Термінальний символ Х є несуттєвим, коли немає жодного породжуваного ланцюжка, що містить Х.

Визначення 4.34. Граматика G=(N, T, P, S) називається зведеною, якщо в ній немає несуттєвих символів (можливо, крім аксіоми S).

Для побудови зведеної граматики спочатку видаляємо недосяжні та непродуктивні нетермінали. Потім з множини термінальних символів видаляємо несуттєві символи. Такі термінальні символи не містяться в правих частинах отриманих правил. Отримана граматика буде зведеною.

Лема 4.5. За кожною КВ-граматикою можна побудувати еквівалентну їй зведену граматики, що не містить несуттєвих символів.

Приклад 4.19. Розглянемо граматику G=({S, A, B, C}, {a, b, c}, P, S), де Р складається з правил:

S→a

S→ A

A→AB

B→b

C→c

Спочатку видаляємо недосяжні нетермінали. Отримаємо R={S, A, B}. Недосяжним є C. З граматики треба видалити вказаний символ та останнє правило. Далі визначаємо множину продуктивних нетерміналів. Знаходимо, що Pr={S, B}. Непродуктивним є A. Після видалення відповідних правил нетермінал B стає недосяжним. Видаляємо і його. Залишається одне правило S→a. Тому суттєвим термінальним символом є лише a. Видаляємо несуттєві термінальні символи. Отримуємо наступну зведену граматику: G'=({S}, {a}, { S→a}, S).