56. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии нормального распределения.

Пусть ξ — нормально распределенная случайная величина с неизвестной дисперсией Dξ = σ2, представленная выборочными значениями x1, x2, …, xn.

Задача состоит в проверке гипотезы о том, что неизвестный параметр σ2 равен заданному числу.

Пусть дана некоторая оценка неизвестной дисперсии , построенная по выборке

x1, x2, …, xn. Предположим, что истинное значение дисперсии равно .

Поскольку оценка — случайная величина, то выборочное значение , вряд ли будет совпадать с . В связи с этим возникает вопрос: при каком отклонении от и с какой степенью уверенности можно утверждать, что истинное значение дисперсии отлично от ? Ответом на этот вопрос может быть значение вероятности того, что величина , вычисленная в предположении, что , больше некоторого фиксированного числа.

Если эта вероятность мала, то мы являемся свидетелями маловероятного события, т.е. отличие эмпирического значения от гипотетического значения представляется значимым и гипотеза о том, что должна быть отвергнута.

Если же эта вероятность велика, то отклонение от , по-видимому, обусловлено естественной случайностью, и гипотеза может быть принята.

57. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности (генеральной доли признака) – параметра биноминального распределения.

Рассматриваем генеральную долю признака Wг =K/N – это часть объектов генеральной совокупности, обладающих определенным признаком (N – объем генеральной совокупности; K – количество объектов генеральной совокупности, обладающих данным признаком). Эту величину можно также трактовать как вероятность р того, что случайно выбранный объект из генеральной совокупности будет обладать этим признаком, причем полагаем, что величина вероятности не меняется при переходе от одного объекта к другому объекту и имеет место независимость появления признака для каждого объекта генеральной совокупности, т.е. в рассматривается модель явления, присущая биномиальному закону распределения признака. Вывод: постановку задачи можно осуществлять как в терминах «генеральная доля признака», так и в терминах «вероятность биномиального закона распределения».

Выборочной долей признака является величина w = k/n – это точечная оценка генеральной доли и, одновременно, точечная оценка вероятности в биномиальной законе распределения (n – объем случайной выборки; k – количество объектов в выборке, обладающих данным признаком).

Здесь мы будем рассматривать только случай больших выборок, т.е. n>30.

Постановка задачи:

Для задач этого типа вводится критерий , который и будем использовать для проверки нулевой гипотезы. Показано, что в случае справедливости нулевой гипотезы этот критерий имеет стандартный нормальный закон распределения.

При альтернативной гипотезе типа (1) строим двустороннюю критическую область, при альтернативной гипотезе типа (2) строим одностороннюю критическую область (левую или правую).

Процедура проверки справедливости нулевой гипотезы полностью повторяет тот алгоритм, который был реализован в предыдущей задаче. Рассмотрим решение конкретного примера.