51. Доверительное оценивание вероятности (генеральной доли признака) – параметра биномиального распределения.

Во многих случаях, помимо точечных оценок неизвестных параметров распределения, желательно указать область, в которой истинные значения этих параметров содержатся с заданной вероятностью. Такая область называется доверительной.

Интервальное (доверительное) оценивание параметра - получение оценки параметра в виде доверительного интервала.

Доверительный интервал - интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее (1 - a), где (1 - a) - доверительная вероятность.

В большинстве практических случаев доверительные интервалы строятся для (асимптотически) нормальных выборок

52. Понятие «статистическая гипотеза». Статистический критерий. Статистика критерия. Область отвержения гипотезы.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным.

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Статистика – функция, вычисляемая по наблюденной выборке. Соответственно, статистика критерия – это статистика, используемая в статистическом критерии.

Если ее значение попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается.

Выбор статистики является важным этапом в разработке критерия. Он определяется вероятностной моделью, описывающей исследуемую ситуацию, и гипотезами – нулевой и альтернативной.

В конце этапов проверки статистических гипотез подводится вывод об истинности гипотезы. Существует 2 области первая - ОБЛАСТЬ ПРИНЯТИЯ ГИПОТЕЗЫ, и вторая – КРИТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ(непринятия).Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

53. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность статистического критерия. Наиболее мощный критерий. Условия, определяющие критическую область наиболее мощного критерия.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (ложноположительного решения), то есть вероятность отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна, уровень значимости — это такое (достаточно малое) значение вероятности события, при котором событие уже можно считать неслучайным. Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой (альфа)

Мощность статистического критерия — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она фактически неверна и должна быть отвергнута. Мощность статистического критерия - важнейший показатель его качества и применимости в данной ситуации.

Понятия уровня значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия – функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области Ψ и действительного распределения результатов наблюдений.

Наиболее мощный критерий - статистический критерий, имеющий наибольшую мощность среди всех критериев с заданным значимости уровнем.

Наиболее мощный критерий для простой гипотезы H0, относительно простой альтернативной гипотезы H1 определяется такой критической областью S, которая дает наибольшее значение вероятности.