3.3. Перпендикулярность плоскостей

№ 20 (устно). Доказать, что плоскость, проходящая через высоту и апофему правильной пирамиды перпендикулярна её боковой грани.

План доказательства

1. АВ^SOK.

2. ASB^SOK.

№ 21 (устно). Доказать, что диагональные сечения куба взаимно перпендикулярны.

План доказательства

1. BD ^ AA₁C₁C.

2. AA₁C₁C ^ BB₁D₁D.

Рис. 138

№ 22 (устно). Доказать, что сечения куба AA₁C₁C и BC₁D взаимно перпендикулярны.

План доказательства

1. BD ^ AA₁C₁C.

2. AA₁C₁C ^ BС₁D.

Рис. 139

№ 23 (устно). Треугольники АВС и ABD равносторонние и лежат в перпендикулярных плоскостях.

1) Доказать, что плоскость CKD перпендикулярна плоскости каждого из них, если К – середина стороны АВ.

П лан доказательства.

1. АВ ^ СКD.

2. АСВ ^ СКD.

3. АВD ^ СКD.

2) Будут ли перпендикулярны плоскости АCD и BCD?

План решения.

1. К – середина CD.

2. ÐАКВ – угол между плоскостями

ACD и СВD.

3.АК² + КВ² ≠ АВ².

Ответ: не будут.

№24. В правильной четырёхугольной пирамиде две противоположные боковые грани боковые грани взаимно перпендикулярны. Доказать, что и другие боковые грани также взаимно перпендикулярны.

Дополнительные построения.

Рис. 142

1. р – линия пересечения плоскостей ASB и DSС (p|| AB).

2. Точки Н и К: AH = HB, DK = KC.

3. ÐМSK  угол между гранями ASB и DSС.

Аналогичные построения для граней ASD и BSC (рис. 143).

ÐMSN  угол между гранями ASD и BSC

План доказательства.

1. ÐНSK = 90°.

2. D HSK =D MSN: ÐHSK = ÐMSN = 90°, ASD ^ BSC.

№ 25. Пусть ABCD и ABKL – квадраты, плоскости которых перпендикулярны. Доказать, что

1) плоскость ADL перпендикулярна

плоскости каждого квадрата.

План доказательства.

1. АВ ^ ADL.

2. ADL ^ ABCD.

3. ADL ^ ABKL.

2) ADK ^ ABKL.

План доказательства.

1. АD ^ ABKL.

2. ADK ^ ABKL.

Рис. 145

3) ADK ^ BCL.

План доказательства.

1. AK ^ BLC.

2. ADK ^ BCL.

4) KLD ^ ALD.

План доказательства.

1. LK ^ ALD.

2. KLD ^ ALD.

5)ALC ^ BKD.

План доказательства.

1. AC ^ DKB.

2. ALC ^ BKD.