3.2. Параллельность прямой и плоскости
№11 (устно). Дан куб АВСDA1B1C1D1 (рис. 24).
1. Докажите, что а) DC параллельно плоскости грани АА1В1В;
б) АС параллельно плоскости А1C1D;
в) А1D параллельно плоскости грани ВВ1C1С.
2. Назовите все рёбра куба, параллельные плоскости основания.
3. Каким граням куба параллельно ребро АD?
4. М – середина ребра AD, N – середина ребра DC. Докажите, что MN параллельно плоскости диагонального сечения АА1С1С. Назовите все плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные MN.
№12 (устно). Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обосновать.
Рис. 25
№13. Параллельна ли плоскость АSС прямой, проходящей через точки Р и Р1 пересечения медиан треугольников SАВ и SСВ ( рис. 26)? Ответ обосновать.
План решения.
1. Δ PBР1~ Δ MBM1.
2. РР1 || ММ1.
3. Вывод.
№14 (устно). Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых плоскости?
№15 (устно). Будут ли параллельны две прямые, параллельные одной и той же плоскости?
№16. Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 27). Прямая р параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой с.
План доказательства.
1. Существует прямая
2. а || β.
3. а || с.
4. р || с.
№17. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Доказать, что прямая АВ параллельна плоскости А1СВ1.
План решения.
1. Δ АОВ= Δ А1ОВ1.
2. АВ || А1В1.
3. А1В1 А1СВ1.
3. Вывод.
№18. Объясните, почему кóзлы, на которых пилят брёвна обеспечивают горизонтальное положение бревна.
№ 19. В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К1 – середина ребра АВ,
точка К2 – середина ребра АА1, точка К3 – середина ребра А1В1, точка К4 – середина ребра СС1, точка К5 – середина ребра СD. Как расположены между собой такие прямые и плоскости:
а) К2 К3 и К1К4К5;
План решения.
1. К2 К3 || К5 К4.
2. Вывод.
Ответ: К2 К3 || К1К4К5.
Рис. 29
б) К1К4 и AB1D;
План решения.
Пусть точка О – середина АВ1.
1. ОС1 – линия пересечения сечения
АВ1С1D и К1К3С1С.
2. К1К4 || ОС1,
3. Вывод.
Ответ: К1К4 || AB1D.
в
)
В1К5 и К2К3К4;
План решения.
1. К3D || В1К5.
2. К3D пересекает плоскость К2К3К4.
3. Вывод.
Ответ: В1К5 пересекает плоскость К2К3К4.
г)
BD и К2К3К5;
План решения.
1.Точка О (середина отрезка К3К5) –
центр симметрии куба.
2. MN || ВD,
3. MN пересекает плоскость К2К3К5.
4. Вывод.
Ответ: BD пересекает плоскость К2К3К5
№ 20. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно в. Определить площадь полученного сечения.
А
План построения. План вычисления площади.
1. ОК || PD в плоскости BPD (рис. 33) 1. АС.
2. АК, КС. 2. Δ АКС – равнобедренный.
3. Δ АКС – искомое сечение. 3. ОК – высота Δ АКС.
4. Δ BPD ~ Δ BKO, k=2.
5. OK. 6.S Δ ABC.
Ответ:
.
№ 21. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, параллельной прямой AD, проходящей через вершину С и внутреннюю точку М ребра АВ. Найти площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М делит ребро АВ пополам.
План построения. План вычисления.
1. MN || AD. 2. NC. 3.CM. 1. Вид сечения MNC.
4. MNC – искомое сечение. 2. NM. 3. МС. 4. РС. 5. SΔNMC.
Ответ:
№ 22. В правильной треугольной
пирамиде SABC с вершиной S
проведена плоскость, которая параллельна
медиане основания BN и
пересекает боковые ребра SA
в точке К, а SB в точке L,
причём SK=
Вычислить, в каком отношении плоскость
сечения делит ребро SC?
План построения.
1. Сечение BSN.
2. LT || BN (рис. 36).
3 .KT.
4. Точка Р – пересечение КТ и SC.
5. PL.
6. LK.
7. Δ LPK – искомое сечение.
П
лан
вычисления.
Рассмотреть грань пирамиды АSC.
Провести AR || KP, NQ || KP (рис. 37).
1. ST=
2. ST=TF=FN.
3. SP=PR=RQ.
4. RQ=QC.
5. SP=PR=RQ=QC.
6. SP: PC=1: 3.
Ответ: 1: 3.
№ 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М принадлежит ребру SD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, М и параллельной прямой АС.
План построения.
1. МВ (рис. 38).
2. О – точка пересечения SQ и МВ.
3. KF: O KF и KF || AC (рис.39).
4. Сечение KMFB (рис.40).
№ 24. Пусть АВСA1B1C1 – правильная призма. Точка К – середина ребра АС. 1) Отметить точку L на ребре В1С1, такую, чтобы отрезок KL был параллелен грани АА1В1В. 2) Как вычислить длину LK, если рёбра призмы известны?
1
)
2)
План построения. План вычисления. 1. Точка F – середина АВ. 1. КМ. 2. KL.
2. FB1.
3. Прямая р: р || FB1 и К FB1.
4. L – точка пересечения прямой р и B1C1.
5
А
№ 25 (устно). В правильной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра ВВ1. Провести сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно АС. Какое из них: а) параллельно В1С; б) параллельно А1В; в) имеет наибольшую площадь; г) имеет наименьшую площадь?
а)
