3.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла

№ 62. В трёхгранном угле два плоских угла по 45,а двугранный угол между ними равен 60. Найти третий плоский угол.

Ответ:

№ 63. Определить угол между двумя смежными диагональными сечениями в кубе. (Диагональные сечения в кубе называются смежными, если они проходят через смежные стороны основания).

П лан решения.

1. Двугранный угол АВ₁DС  искомый, пусть его величина .

2. Рассмотреть трёхгранный угол DAB₁C.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

 B₁DA=α, B₁DC= β, ADC=γ,

Рис. 278

3. α = β, γ=90.

4. cos . Ответ: 120.

№ 64. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

П лан решения.

1. Построения: DK PC, BK.

2. BKD – линейный.

3. Рассмотреть трёхгранный угол CDPB.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

 РСD = α, РCB = β, DCВ = γ, BKD = .

4. α = β, γ=90.

5. Выразить α и β через .

6. Составить уравнение по теореме о трёх

косинусах.

7. Решить полученное уравнение относительно cos

Ответ:

№ 65. В треугольной пирамиде две боковые грани – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны с и угол между ними равен γ. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. Найти объём пирамиды.

П лан решения.

1. Рассмотреть трёхгранный угол PАBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

 АРВ=α, CРB=β, АРС=γ, АВС = .

2. α = β = 45.

3. cos (по теореме о трёх косинусах).

4. sin.

Рис. 280

5. АВ, АВ=ВС=ВР.

6. S _АВС. 7. V_SABC.

Ответ:

№ 66. Отрезок прямой, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.

План решения.

1. АО.

2. AS (ASO).

3. cos SAO (ASO).

4.cosSAC (по теореме о трёх косинусах).

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

двугранный угол с ребром AS равен ,

SAC=α, SAB=β, α = β, ВАС =γ.

6. ВАС. 7. sinSAC. 8. cos (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 67. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания. Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если обе они составляют с плоскостью основания один и тот же угол .

П лан решения.

1. Построения:

1.1. SO  ABC.

1.2. OM  BC, SM

1.3. OK  AC, SK.

2. SKO =SMO = .

3. Пусть АВ = АС = ВС = а.

АО = ОВ=0,5а.

4. Выразить ОК через а (АКО).

5. Выразить SК через а (SКО).

6. Выразить АК через а (АКО), выразить КС через а (АКО).

7. tgSCK (SCК), cosSCK, sinSCK.

8. Рассмотреть трёхгранный угол СASB с вершиной С. В обозначениях теоремы косинусов искомый двугранный угол с ребром SC равен , SCА=α,  SCB=β, α=β, ACB=γ.

9. ACB=γ. 10. cos (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 68. Стороны основания параллелепипеда равны а и в, а угол между ними равен α. Найти объём параллелепипеда, если боковое ребро, проходящее через вершину данного угла, составляет с его сторонами углы β и γ, а длина его равна с.

П лан решения.

1. Построения: А₁О  ABCD,

OK  AD, A₁K.

2. А₁КО – линейный угол

двугранного угла с ребром AD.

3. S_ABCD.

4. А₁К.

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC. В обозначениях теоремы о трёх косинусах двугранный угол с ребром AD равен А₁КО = , BAD= α, А₁AD= β, A₁АB =γ.

6. cos  ( по теореме косинусов). Значение cos обозначить р.

7. sin  (выразить через р) . 8. А₁О. 9. V_{призмы.}

Ответ:

№ 68. Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро равно в и составляет с пересекающими его сторонами основания острые углы, соответственно равные α и β. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи № 6.

Ответ: