- •Предисловие
- •3.2. Параллельность прямой и плоскости
- •3 N .3.Параллельность плоскостей
- •3.4. Дополнительные признаки параллельности прямых
- •Признак перпендикулярности плоскостей
- •1.4. Дополнительный признак перпендикулярности прямых
- •1.5. Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости
- •2.6. Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей
- •3. Задачи к теоретической карте №2
- •3.1. Перпендикулярность прямых
- •3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •3.3. Перпендикулярность плоскостей
- •Дополнительный признак перпендикулярности прямых (теорема о трёх перпендикулярах)
- •1.3. Свойства некоторых углов
- •1.3.1. Теорема о трёх косинусах.
- •2.2. Теорема о биссектрисе угла.
- •2.3. Теорема о трёх синусах
- •2. 4. Теорема косинусов для трёхгранного угла
- •3. Задачи к теоретической карте №3
- •3.1. Угол между прямой и плоскостью
- •3.2. Угол между плоскостями
- •3.3. Свойства некоторых углов
- •3.3.1.Теорема о трёх косинусах
- •3.3.2. Теорема о биссектрисе угла
- •3.3.3.Теорема о трёх синусах
- •3.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла
- •Список литературы
- •Содержание
- •I. Параллельность в пространстве
- •II. Перпендикулярность в пространстве
- •III. Углы между прямыми и плоскостями
3.2. Угол между плоскостями
№18. ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить углы, образованные плоскостями:
1) АВ1С1 и АВС.
План решения.
1. В1АВ - искомый угол.
2. tgφ, где В1АВ=φ.
Ответ: 45.
Рис.217
2) ВВ1D1 и АВС.
План решения.
1. АОD искомый угол.
Ответ: 90.
Рис. 218
3) АВ1D1 и АВС.
План решения.
Рис. 219
и АВС (l параллельна В1D1 или ВD).
2. О1АО искомый угол.
3. tgφ, гдеО1АО=φ.
Ответ:
4 ) АВ1D1 и ВB1D1.
План решения.
1.О1 – центр верхнего основания.
AО1O искомый угол.
2. tgφ, где AО1O=φ.
Ответ:
5) DА1C1 и BА1С1.
План решения.
1. О1 – центр верхнего основания.
BО1D искомый угол
2. BD, O1D, cosφ (BO1D), где BО1D =φ.
Ответ:
З амечание. Можно воспользоваться ОО1D (рис. 222) и найти .
Ответ:
6) C1ВD и А А1С1.
План решения.
1. А1С1 C1ВD (задача №22, с.20)
2. C1ВD А А1С1.
Ответ: 90.
7 ) АВ1D и С В1D.
План решения.
1.Построения: АР B1D, РС.
2. АР=РС, РС B1D.
3. АРС – искомый.
4. АР (из прямоугольного треугольника
Рис. 224
5. АС.
6. cosφ, где АРС =φ
(по теореме косинусов).
Ответ: φ=120, угол между плоскостями 60.
№19. Дан правильный тетраэдр. Вычислить угол, образованный:
1 ) плоскостями граней тетраэдра;
План решения.
1. Построения: О – центр основания;
АК, РК;
2. ОК, РК выразить через ребро
тетраэдра а;
3. cosφ, где SKO=φ.
Ответ: .
Все другие углы, образованные плоскостями граней тетраэдра равны найденному углу.
2) плоскостью, проходящей через две
апофемы тетраэдра и плоскость основания;
План решения.
1. Построения: SM, SK – апофемы,
SMK – данная плоскость.
P - середина MK, SP MK, NP MK,
SPN – искомый.
2. SP, NP, SN выразить через ребро
тетраэдра а;
3. По теореме косинусов cosφ, где
SPN=φ.
Ответ:
3) плоскостью, проходящей через две
апофемы тетраэдра и плоскостью
боковой грани, не содержащей их;
План решения.
1. Построения: SK, SР – апофемы,
SРK – данная плоскость.
l – линия пересечения плоскости SРK и
Рис. 227
MS l, NS l, MSN – искомый.
2. SN, NM, SM выразить через ребро
тетраэдра а;
3. По теореме косинусов cosφ, где
MSN=φ.
Ответ:
4 ) плоскостями двух сечений, являющихся квадратами;
План решения.
1. Построения: MNPK, LNFK – сечения квадраты (рис. 228, 229). Они образованы средними линиями граней – треугольников.
Рис. 230. О – середина NK. ОМ NK, OF. MOF – искомый.
2. Проверить равенство MF2 = OM2 + OF2. Сделать вывод.
Ответ: 90.
№20 (устно). Две плоскости пересекаются. Какой угол образуют между собой плоскости биссекторов этих углов?
Определение. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, которая делит данный угол на два равных по величине угла.
На рисунке α, β – данные плоскости,
τ 1,τ2 – биссекторные плоскости.
№ 21 (устно). В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости грани АВС. Треугольник АВС равносторонний. Назвать угол между плоскостями:
1) РАВ и РВС (рис. 232); 2) РАС и ВАС (рис. 232); 3) РАС и РВС (рис. 233).
Ответ: 1) АВС; 2) РКВ; 3) АLC.
№ 22 (устно). В основании четырёхугольной пирамиды РАВСD квадрат АВСD, ребро РВ перпендикулярно основанию. Назвать угол между плоскостями:
1) PAD и АВС; 2) PCD и АВС; 3) PAD и PCD.
Рис. 235
Ответ: 1) РАВ; 2) РСВ. 3) АКС.
4) PAD и PCВ.
Ответ: АРВ.
№ 23. Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней двугранные углы, каждый из которых равен α. Высота пирамиды равна Н. Определить боковую поверхность пирамиды.
План решения.
1. АВ AD, PA AD: РАВ= α.
2. Аналогично РСВ= α.
3. РB, AB, SAPB.
4. SAPB=SCPB.
5. AP.
6. APD – прямоугольный. SAPD.
7
Рис. 237
8. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ:
№ 24. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30 и 60. Найти объём пирамиды.
П лан решения.
1. Пусть АВ = а. Выразить РВ через а.
2. Пусть ВС = в. Выразить РВ через в.
3. Выразить РВ через S (перемножить
результаты, полученные в (1) и (2)).
4. Найти объём пирамиды.
Ответ:
№ 25. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол β, две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Найти боковую поверхность пирамиды.
План решения.
1. Построения: ВК AD, SK; BP DC, SP.
2. ВК.
3. SВ.
4. SSAB.
5. SК, SSAD.
6. SSAB= SSСB, SSAD= SSСD.
Рис. 239
Ответ:
№ 26. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к острому углу α перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.
П лан решения.
1. Построения:
1.1. PО BC, PО ABC.
PО – высота пирамиды;
1.2. ОК АВ, РК.
2. РСО – угол между гранями АРС и АВС.
РКО – угол между гранями АРВ и АВС.
РСО =РКО =α=АВС.
3. АС, ВС, SABС.
4. Точка О равноудалена от сторон АВ и АС,
АО – биссектриса А.
5. ОС. 6. ОР. 7.VPABC.
Ответ:
№ 27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол α. Боковая грань, проходящая через гипотенузу перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом α. Определить объём пирамиды.
План решения.
1. Построения:
1.1. PО АB, PО ABC.
PО – высота пирамиды;
1.2. ОК АС, РК.
1.3. ОМ ВС, РМ.
Рис. 241
РМО – угол между гранями CРВ и АВС.
РКО =РМО =α=ABC.
3. АС, ВС, SABС.
4. СО – биссектриса С.
5. ОМ=МС=х. 6. ВОMВАС. 7. Найти х из пропорциональности сторон.
8. ОР. 9. VPABC.
Ответ:
№ 28. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с площадью m2, у которого диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Двугранные углы при рёбрах AB и CD равны 60, а при рёбрах AD и BC равны 45. Найти боковую поверхность пирамиды.
Р ассмотрим фрагмент данной конфигурации (рис. 242).
Пусть РО – высота пирамиды.
КМ – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма АВ и DС (ОКМ).
Т ак как РКМ=РМК, то точка О равноудалена от сторон АВ и DC.
Аналогично BD – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма AD и BC (рис. 243) и из равенства углов PDB и PBD следует, что точка О равноудалена от сторон AD и BC.
Свойством равноудалённости от противоположных сторон параллелограмма обладает точка пересечения его диагоналей (как центр симметрии). Таким образом, основание высоты пирамиды точка О – середина BD.
П лан решения.
1. ADBD = m 2.
2. BD= .
3. ADPD= .
4. APD – прямоугольный.
5. S APD= =SBPC.
6. KMDC=m2. 7. KM=PM. 8. PMDC=m2. 9. S PDC= m2=SAPB.
10. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ:
№ 29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна Н. Через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость образующая с основанием угол α. Найти боковую поверхность призмы.
П лан решения.
1. Построения: АВ1С, В1ОВ = α.
2. ОВ. 3. АВ. 4. Sбоковой поверхности призмы.
Ответ:
№ 30. Через сторону основания, правильной четырёхугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани. Найти угол , образованный сечением с плоскостью основания, если сторона основания призмы равна а, а высота h.
П лан решения.
1. АМND – прямоугольник
2. NDC – угол между плоскостью сечения и
плоскостью основания, NDC=.
3. DD1=DN.
4. cos.
Ответ:
№ 31. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно в, через сторону АС основания АВС проведено сечение АDС, площадь которого равна q. Найти объём призмы, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол α.
П лан решения.
1. Построения: ADP, BP AC, DP.
DPB=β.
2. SADC= . q =
3. Выразить PD через РВ.
4. Подставить в формулу площади сечения
и выразить площадь основания.
5. Vпризмы.
Ответ:
№ 32. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое ребро равно . В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под углом 45к плоскости основания. Найти поверхность большей части призмы.
П лан решения.
1. Построения:
1.1. КРВ – сечение.
1.2. l – линия пересечения плоскости сечения и основания призмы,
(l || КР).
1.3. О1 – середина КР.
О1В l, ВО l (О- центр АВС).
1.4. О1 ВО = 45.
2. О1В1. 3. КВ1. 4. Поверхность меньшей части призмы ( .
5. Поверхность призмы. 6. О1В. 7. S KBP. 8. Поверхность большей части призмы.
Ответ:
№ 33. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник. Боковая грань призмы, проходящая через основание а равнобедренного треугольника, квадрат и образует с двумя другими боковыми гранями углы, каждый из которых равен α. Найти боковую поверхность призмы.
План решения.
1. Построения: РВВВ1, РССС1.
CВР – угол между гранями ВВ1С1С и
А А1В1В.
Рис. 249
ВВ1С1С и А А1С1С.
CВР=РCВ=α.
2. ВРС – перпендикулярное сечение. 3. РВ (ВРС). 4. Р(ВРС). 5.ВВ1.
6. Sбоковой поверхности призмы.
Ответ:
№ 34. Боковое ребро наклонной призмы равно в, а площадь её основания равна S. Определить объём призмы, если известно, что плоскость, перпендикулярная к боковым рёбрам призмы, образует с плоскостью основания угол α.
П лан решения.
1. Построения:
1.1. ВР АА1, РС.
Плоскость ВРС АА1.
1.2. АК ВС, РК, АКР=α. Доказать.
1
Рис. 250
2. А1АО = АКР=α.
3. А1О. 4. Vпризмы. Ответ: bScosα.
№ 35. Правильная четырёхугольная призма пересечена плоскостью так, что в сечении получился ромб с острым углом α. Найти угол плоскости сечения с плоскостью основания призмы.
П лан решения.
1. Построения (рис. 251).
1.1 О – точка пересечения диагоналей
призмы.
1.2. Прямая l: О l, l || АС, точки М, Р.
1.3. В1N = DD2.
1.4. MNPD2 – сечение.
2. Доказать MNPD2 – ромб
(параллелограмм с перпендикулярными
диагоналями).
3. ND2B2 =. Доказать. (На чертеже n – линия пересечения плоскости сечения и плоскости А2В2С2D2, параллельной основанию призмы).
4. Пусть МР= а, тогда B2D2 = а. 5. Выразить ND2 через а. 6. cos .
Ответ: